?

Log in

No account? Create an account

Апории Зенона, математика и непрерывность - a_gorb — LiveJournal

Jan. 23rd, 2016

11:06 am - Апории Зенона, математика и непрерывность

Previous Entry Share Flag Next Entry

(Первоначально опубликовано http://ru-philosophy.livejournal.com/1408629.html)

В дополнение к недавнему обсуждение апорий Зенона. В частности, заинтересовался вопросом: «Ну что мешает греку понять, что если он возьмет какой-то интервал времени и разделит его на два, половину на половину и так далее, то сумма всех полученных отрезков не превысит длительности самого отрезка, как бы мы долго не продолжали деление. И тут совсем не надо иметь представление об актуальной бесконечности - просто наглядное деление.»

Начнем с Хронологии

Пифагор Самосский (570–490 до н.э.) и его школа – теория целых и рациональных чисел
Зенон Элейский (490–430 до н.э.) – парадоксы бесконечного и непрерывного
Демокри́т Абдерский (460–370 до н.э.) – отказ от непрерывной делимости
Феодор Киренский (430–390 до н.э.) – доказательства иррациональности для ряда случаев
Теэтет Афинский (420–369 до н.э.) – исследование несоизмеримости, иррациональные числа
Евдокс Книдский (406–355 до н.э.) – общая теория отношений, метод исчерпывания
Евклид (325–265 до н.э.) – свод математических знаний
Архимед (287–212 до н.э.) – широкое применение метода исчерпывания
Ньютон (1642–1727) и др. – математический анализ, теория рядов
Коши (1789–1857) и др. – предел, непрерывность
Больцано, Дедекинд и др. (XIX век) – теория действительных чисел, континуум


Древние греки в лице Пифагора и его школы за числа считали только целые числа и их отношения, т.е. рациональные числа. Однако, уже внутри пифагорейской школы возникало понимание того, что не всякое отношение двух величин может быть выражено отношением двух чисел. Весьма вероятно, что пифагорейцами было доказано, что sqrt(2) является иррациональным числом, т.е. не может быт представлено как отношение целых чисел. «Открытие несоизмеримости отрезков явилось поворотным пунктом в развитии математики. … Значение этого открытия можно, пожалуй, сравнить только с открытием неевклидовой геометрии или теорией относительности» [История математики. (В 3-х томах) Под ред. А.П. Юшкевича Т. 1. С древнейших времен до начала Нового времени.] Аристотель гораздо позже писал, что «вызывает удивление, если что-нибудь нельзя измерить самою малою мерою». [А.П.Юшкевич]


Однако древним грекам не удалось расширить понятие числа, поэтому они разработали теорию величин на основе геометрических построений. Сложение величин изображалось, например, как сложение отрезков, а произведение двух величин рассматривалось как построение на них прямоугольника.

«Вместе с открытием несоизмеримых величин в математику вошло понятие бесконечного. … дело шло уже об изучении свойств самих бесконечных множеств и об исследовании бесконечных последовательностей. К этим вопросам приводили две основные проблемы – … проблема действительного числа и проблема меры. … Трудности, связанные с понятиями бесконечного и непрерывного, привели к глубокому кризису основ античной математики.» [А.П.Юшкевич]

Одновременно происходило развитие логического аппарата. «Тон философских сочинений этой эпохи резко меняется. В VII и VI вв. философы еще только утверждают или прорицают (и лишь в некоторых случаях приводят туманные доводы, основанные на не менее туманных аналогиях). Начиная с Парменида и особенно Зенона, они уже аргументируют, пытаясь выделить общие положения, чтобы положить их в основу своей
диалектики; именно у Парменида мы впервые находим формулировку принципа исключенного третьего, а доказательства Зенона Элейского путем приведения к абсурду знамениты и сейчас.» [Бурбаки Н. Очерки по истории математики] (Отмечу, что я присоединяюсь к мнению, что апории Зенона по существу являются доказательствами от противного.)

Зенон своими апориями как раз и продемонстрировал те логические трудности, которые содержаться в понятиях бесконечного и непрерывного. Эти трудности породили массу споров и различных попыток найти решение возникшим проблемам. Протагор вообще предложил отказаться от математических абстракций и считал, что нельзя говорить о линиях без толщины и точках, не имеющих размеров, т.к. никто никогда таких линий и точек не видел. Отмечу, что и спустя 2,5 тыс. лет встречается такой способ «разрешения» апорий Зенона, сводящийся к тому, что в реальности все имеет некий размер, а значит рассматривать более мелкие размеры не имеет смысла. Демокрит в общем то предложил аналогичное решение, считая что все состоит из атомов, которые имеют хоть и очень маленький, но конечный размер. К счастью, математика такими решениями не воспользовалась. Следует еще раз подчеркнуть, что математиков интересуют именно логическая стройность построений, а не просто практическая применимость. На практике, разумеется, часто вполне можно считать, что нет смысла рассматривать отрезки пути много меньшие, например, шага черепахи, или атома Демокрита. Однако, это не является строгим логически решением математических проблем, содержащихся в апориях Зенона. Выскажу гипотезу, что атомистика Демокрита была капитуляцией перед проблемами бесконечного и непрерывного, раз мы не можем решить задачу, то объявим, что природа сама устроена так, что задача становиться бессмысленной. Такое «решение» апорий встречается и по сей день.

Новые основы математики были созданы Евдоксом Книдским. Он разработал общую теорию отношений и строгий метод предельных переходов. По Евдоксу понятие величины включает как числа, так и непрерывные величины: длины отрезков, объемы, площади и т.п. Евдокс вводит аксиому, которая потом получила почему-то имя Архимеда: величины имеют отношение меду собой, если они взятые кратно, могут превзойти друг друга. (Например, если один шаг Ахилла больше одного шага черепахи и в то же время, 200 шагов черепахи дольше одного шага Ахилла, то значит эти шаги соизмеримы и можно ввести между ними отношение.) Евдокс разрабатывает логически безупречную теорию отношений величин, которой человечество потом с успехом пользуется более двух тысячелетий. Однако, в теории Евдокса был недостаток, у него отсутствовала аксиома непрерывности, эти вопросы математика смогла решить только в XIX веке.

Втором громадным достижением Евдокса была разработка так называемого метода исчерпывания. В основе метода лежит следующее положение, доказываемое на основе аксиомы Архимеда: если из некой величины вычесть больше ее половины, а из полученного остатка опять больше его половины и т.д., то через конечное число шагов остаток будет меньше любой наперед заданной величины. (Правда, тут сразу видна аналогия с апориями Зенона?:)) Метод исчерпывания позволяет находить пределы различных последовательностей. А строя определенные последовательности, находить логически строгие решения различных задач, как, например площадей и объемов сложных фигур. Этим методом Евдокс доказал теоремы об объемах пирамиды и конуса. Формулы для этих объемов были найдены еще Демокритом, однако он не смог дать им строгого доказательства. Особенно в древности преуспел в применении этого метода Архимед. Метод исчерпывания по существу является теорией пределов древних греков. Однако, они подошли вплотную к понятию предела, но не смогли это понятие в явном виде сформулировать, логически строгая теория пределов была создана только в начале XIX века. (Тут еще следует отметить, что метод исчерпывания является логически строгим методом решения задач, но часто достаточно громоздким. Когда в XVII-XVIII веках возникает и развивается анализ бесконечно малых, то пораженные результативностью новых методов математики временно оставили в стороне логическую стройность, к которой всегда стремились древние греки. Но это не было отступлением, а скорее кавалерийской атакой, придание логической строгости оставили на потом.)

Но Евдокс жил заметно позже Зенона. А во времена Зенона не было возможности логически строго сформулировать и решить проблемы бесконечной делимости, непрерывности и т.п. Соответствующие логические построения были разработаны только в XIX веке. Заслуга Зенона заключается в том, что он, придав своим логическим построениям наглядность и образность, тем самым привлек внимание к проблеме бесконечного и непрерывного.

Приведу еще такой условный пример, иллюстрирующий, что тут нужна именно строгая логика, а не наглядность. Нарисуем последовательность положений Ахилла:

Зенон 1

Точки на отрезке постепенно сгущаются и наглядно видно, что сумма таких  уменьшающихся отрезков приведет к конечному отрезку.

Но давайте рассмотрим такой пример. Возьмем квадрат, пусть длины его сторон равны 1, рассмотрим диагональ этого квадрата (нарисовано зеленым). Построим на диагонали квадрата «лесенку» (ломаную линию) (нарисовано красным). Легко видеть, что длина лесенки равна 2. Уменьшим шаг «лесенки». Очевидно, ее длина при любом уменьшении шага не изменяется. Сделаем шаг лесенки очень-очень маленьким, а лучше бесконечно маленьким. Наглядно видно, что при этом лесенка совпадет с диагональю. Вывод – длина диагонали равна 2.
Зенон 2

Уууу, скажет пытливый читатель, но ведь если увеличить эту лесенку, то ломаная как была далека от диагонали, то так и осталась:
Зенон 3

Это так, но если «посмотреть через лупу» на положения Ахилла, то тоже сразу видно, что эти точки не достигают конца и также относительно далеки от него, как и были:

Зенон 4

Вот так. Так, что тут требуется доказательство, а не просто наглядность. А древние греки с почтением относились к логике, и особенно к логике в математике.


Офф/2. И в дополнение, правда, не имеющем прямого отношения к обсуждаемому вопросу, не могу удержаться и не привести эту цитату:
«Труды Аристотеля и его преемников, по-видимому, не оказали заметного влияния на математику. Греческие математики в своих исследованиях шли по пути, проложенному пифагорейцами и их последователями в IV в. (Теодором, Теэтетом, Евдоксом), и мало интересовались формальной логикой при изложении своих результатов. Это не должно вызывать удивления; достаточно сравнить гибкость и точность изложения математических  рассуждений, которое имело место начиная с этого периода, с весьма рудиментарным состоянием аристотелевой логики.» [Бурбаки Н. Очерки по истории математики]

Comments:

[User Picture]
From:egovoru
Date:January 23rd, 2016 02:12 pm (UTC)
(Link)
О, Вы нарисовали картинку, которая занимает меня со школьных времен! Когда-то я сама додумалась до этого парадокса с бесконечно дробимой гипотенузой, и он продолжает занимать меня до сих пор! Действительно, ведь площадь между ступенчатым путем и прямой диагональю таки стремится к нулю по мере дробления первого - что и дает нам зрительное впечатление постепенной приближаемости его к диагонали, но при этом длина ступенчатого пути остается неизменной (равной сумме длины двух катетов), сколько бы мы его не дробили. Почему-то это кажется мне совершенно поразительным ;)
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:a_gorb
Date:January 24th, 2016 02:47 pm (UTC)
(Link)
”Почему-то это кажется мне совершенно поразительным ;)”
Аналогично «доказывается», что Пи=4 :) (http://www.yaplakal.com/forum2/topic295937.html)

Тут, как и вообще с пределами, надо именно доказывать, что к чему стремится. Наглядные соображения могут врать.

Меня же больше удивляет, что греки налетели на непрерывность и предел как на стену. Т.е. очень очень вплотную подошли к этим понятиям, но решающего шага так и не сделали. Причем сам метод исчерпывания (как его уже назвали в новое время) по сути предполагает туже самую процедуру, что и доказательство предела. А этот метод греки применяли достаточно широко.
А с другой стороны, греки именно строго доказывали, тогда в начале разработки матанализа математики откровенно «забили» на строгость своих построений.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:egovoru
Date:January 24th, 2016 03:16 pm (UTC)
(Link)
"Наглядные соображения могут врать"

Нет, мне с самого начала не пришло в голову использовать эту наглядность как доказательство - но меня поразило и продолжает поражать эта разница в поведении длины и площади! В конце концов, ведь плошадь - это просто произведение одной длины на другую?

"А с другой стороны, греки именно строго доказывали, тогда в начале разработки матанализа математики откровенно «забили» на строгость своих построений"

Кажется, именно это и называют "сдвигом культурной парадигмы" ;)

(Reply) (Parent) (Thread)
From:Гусейн Гурбанов
Date:November 16th, 2018 07:58 am (UTC)
(Link)
Решение парадоксов (окончательная версия).
Когда не учитывается степень ПОЗИЦИОННОЙ ЗАВИСИМОСТИ (ПЗ-и) ВЕДОМОГО /понятия в пределах рассматриваемого вопроса/ к ВЕДУЩЕМУ /понятию в пределах этого же вопроса/ возникает парадокс.

ВЕДОМОЕ:
«Яйцо», полагаясь от ВЕДУЩЕГО «курица» в МАКСИМАЛЬНО ВОЗМОЖНОЙ
(МксВ-ой) ПЗ-и в обоих своих СОСТОЯНИЯХ (Сст-ях) /НАЧАЛЬНОМ (Нч)
как снесённое ею; КОНЕЧНОМ (Кн) как насиженное ею/, в ракурсе
вопроса «кто был раньше» выявляющим ВЕДУЩЕГО в МИНИМАЛЬНО
ВОЗМОЖНОМ (МнмВ-ом) числе понятий комбинационно годных для
выбора искомого /в данном случае, имеем вариант с годным полагающимся
в МксВ-ой ПЗ-и от этой роли и с не годным полагающимся вне ПЗ-и от
этой роли/, невольно становится рассматриваемым на эту роль; «Ахиллес» перемещающееся лишь на метку оставляемую ВЕДУЩИМ
«передвигающейся черепахой» естественно, что не догонит её полагаясь в
обоих Сст-ях в МксВ-ой ПЗ-и от неё;
«Я» Кн Сст-я, полагающееся от ВЕДУЩЕГО «ложь» в МнмВ-ой ПЗ-и,
рассматриваемое в МксВ-ой ПЗ-и Нч Сст-я становится поочерёдно
отрицаемым /в обоих Сст-ях/;
«Критянин» Кн Сст-я, полагающееся в МнмВ-ой ПЗ-и от ВЕДУЩЕГО «множества
критян не представленного этим критянином, как не лжецом»,
рассматриваемое в Нч Сст-и полагающимся в МксВ-ой ПЗ-и от иного
ВЕДУЩЕГО «множества критян представленного этим критянином не как
не лжецом» становится поочерёдно отрицаемым /в обоих Сст-ях/;
«Брадобрея» в обоих Сст-ях полагающегося в МксВ-ой ПЗ-и от ВЕДУЩЕГО
«бреющих себя» и, соответственно, в МнмВ-ой ПЗ-и от иного ВЕДУЩЕГО
«не бреющих себя», рассматривают в ситуации смены степеней ПЗ-и от
ВЕДУЩИХ.
«Стрелу летящую (Сст-е движения)» полагающуюся в обоих Сст-ях /Нч – выхода из
Сст-я покоя; Кн – входа в Сст-е покоя/ в МнмВ-ой ПЗ-и от ВЕДУЩЕГО
«Стрелы не летящей (Сст-е покоя)» стараются представить полагающейся
в МксВ-ой ПЗ-и.

«Знание Сократа» полагается в МксВ-ой ПЗ-и от ВЕДУЩЕГО «познаваемого».


(Reply) (Thread)
From:Гусейн Гурбанов
Date:November 27th, 2018 03:24 pm (UTC)
(Link)
Доработанная окончательная версия «Решения парадоксов»
ВЕТВЬ /противоречивых суждений/ развёртывается при не фиксировании момента смыслового изменения ВЕДОМОГО /понятия в рассматриваемом вопросе/ полагающегося при переходе из МАКСИМАЛЬНО ВОЗМОЖНОГО (МксВ-ого) к МИНИМАЛЬНО ВОЗМОЖНОМУ (МнмВ-ому) УРОВНЮ ЗАВИСИМОСТИ (УЗ-и) от смысла ВЕДУЩЕГО понятия полагающегося на переднем плане для рассмотрения - Вдщ1 - и, соответственно, из МнмВ-ого к МксВ-ому УЗ-и от смысла ВЕДУЩЕГО понятия оставшегося за кадром или же перешедшего на задний план – Вдщ2 /антонима Вдщ1/.


Смысл ВЕДОМОГО:
«Критянин» перешедшего из МксВ-ого УЗ-и от смысла Вдщ1 «лжецы» к
МксВ-ому УЗ-и от смысла Вдщ2 «не лжецы» стал антонимом прежнему;
«Я» … «ложь» к … «правда» …;


Есть также ВЕТВЬ мнимая, развёртывание которой не связана с «не фиксированием момента …», ибо смыслового изменения полагающего развёртывание ВЕТВИ здесь нет.

Смысл ВЕДОМОГО:
«Ахиллес» не перешедшего из МксВ-ого УЗ-и от смысла Вдщ1 «путь
пройденный черепахой» к МксВ-ому УЗ-и от смысла Вдщ2 «пути не
пройденной черепахой» не допускает обгона;
«Стрела» … «движущаяся» … «покоящаяся»
преподносится как смысл перешедшего к антониму;
«Мнение Платона о ложности последующего мнения Сократа» …
«ПОДТВЕРЖДЕНИЯ /Сократом этого мнения Платона/» … «не
ПОДТВЕРЖДЕНИЯ» ...;
«Времени затраченного» … «преодоления полпути» … «преодоление всего пути»
не допускает достижения конца намеченного пути;
«Буриданов осёл» … «НЕУМЕНИЕ /делать выбор между двумя одинаковыми
стогами сена/» … «УМЕНИЕ» обречёт животное на смерть от голода;
«Сюрпризная дата казни» … «определения надсмотрщика» … «оптимистического
размышления приговорённого» не отменяет его казни в следующей
неделе;
«Брадобрей» … «бреющих себя» … «не бреющих себя» не допускает небритого
вида для брадобрея.



«Куча», «Лысый», «Корабль Тесея», «Яйцо или курица» не полагают развёртываний в отношение к себе даже мнимых ВЕТВЕЙ.
(Reply) (Parent) (Thread)