?

Log in

No account? Create an account

Природа законов логики 2. Логика в квантовой физике - a_gorb — LiveJournal

Aug. 6th, 2013

12:35 pm - Природа законов логики 2. Логика в квантовой физике

Previous Entry Share Flag Next Entry

Размещено в сообществе dia_logic. Комментировать лучше там, хотя конечно можно и тут.

– Что читаешь?
– Квантовую механику.
– А чего книга вверх ногами?
– Да какая разница...

Квантовая механика - она как женщина! Понять её невозможно!

(бородатые анекдоты)

В первой части было высказано предположение, что законы классической логики основаны на том, что состояние классического физического объекта возможно представить точкой в фазовом пространстве. А к этим точкам применимы все обычные правила обращения с множествами и соответствующие правила формальной логики (ФЛ). Но помимо классической физики существует и квантовая физика, причем хорошо известно, что законы квантовой механики кардинально отличаются от законов механики классической. Соответственно, можно предположить, что логика, пригодная для описания квантовых объектов, будет отличаться от классической логики.

Дальнейшее изложение базируется в основном на следующей статье: А.И. Ахиезер, Р.В. Половин, Почему невозможно ввести в квантовую механику скрытые параметры. УФН. 1972. Т.107. В.3. С.463, которая в свою очередь основана на идеях фон Неймана. Но рассматриваемы здесь примеры я частично придумал сам, поэтому вполне возможны ошибки и неточности. А посему, не судите строго, а замечания и уточнения принимаются с благодарностью. Кто знает кванты, вполне может ограничиться данной статьей, читать дальше нет особого смысла (разве что для поиска ошибок).


И так, классическая ФЛ основана на том, что состояние объекта может быть представлено точкой в фазовом пространстве. А состояние квантового объекта задается вектором в гильбертовом пространстве. Это не слишком сложно. Рассмотрим для начала двухмерное эвклидово пространство, т.е. просто обычную плоскость. Вектор есть некий отрезок, характеризующийся длиной (абсолютной величиной) и направлением. На плоскости можно ввести систему координат и совместить ее с началом вектора. Тогда такой вектор может быть представлен парой чисел, которые являются проекциями его на оси координат.

4

Эта пара чисел (ax, ay) задает вектор a и может сама рассматриваться как вектор. (Только не любая пара чисел является вектором.) Также вектор может быть представлен как векторная сумма векторов, расположенных вдоль осей.

Теперь осталось сделать следующие обобщения. Первое, количество взаимно перпендикулярных осей может быть любым, даже бесконечным. Второе, эти оси не имеют никакого отношение к обычному пространству. И третье, числа, задающие вектор могут быть не только действительными, но и комплексными. Вот тогда мы получим гильбертово пространство.

Для квантовой физики наиболее важно направление вектора, его длина всегда может быть найдена из условия нормировки, которой мы тут касаться не будем. Тогда состояние квантового объекта будет выражаться неким подпространством гильбертово пространства. Например, прямой (подпространство единичной размерности), вдоль которой располагается вектор, или плоскостью (подпространство 2х измерений), в которой могут лежать вектора, соответствующие некому состоянию. Надеюсь, из дальнейшего изложения все это будет яснее.

Над этими подпространствами можно ввести операции, аналогичные операциям над множествами, которые есть основа классической ФЛ. Операции конъюнкция (умножение, логическое «и») будет соответствовать пересечение подпространств.

Сложнее с операцией дизъюнкция (сложение, логическое «или»). Рассмотрим пример для классических объектов. Пусть у нас есть две дырки (В и Н).

1

Будем говорить о свойствах предметов проходить или нет через эти отверстия.

2

Предмет 1 проводит через дырку Н, предмет 2 проходит через дырку В, а предмет 3 через обе дырки. Если мы возьмем множество предметов, обладающих свойством «проходит через В» и множество предметов со свойством «проходит через Н», то множество предметов со свойством «проходит через В» ИЛИ «проходит через Н» будет объединением этих множеств. Все три предмета принадлежат этому объединенному множеству.

Рассмотрим теперь квантовый объект: электрон в спиновых состояниях. Электрон, пропущенный через прибор Штерна-Герлаха (ПШГ) может отклониться в одну сторону или в противоположную. Нам сейчас совершенно не принципиально, что такое спин и как работает ПШГ, важно, что при прохождении электрона через этот прибор возможно только два указанных результата. Сразу отметим особенность квантовой физики. Для экспериментального определения состояния необходимо провести не один опыт, а множество одинаковых опытов над идентичными квантовыми объектами (как говорят, ансамблем), поскольку в результате опыта исходное квантовое состояние разрушается. Если электроны всегда будут отклоняться в одну сторону (условно назовем ее верх), то говорят, что он находится в состоянии со спином +1/2 (1/2 вверх), если всегда будет отклоняться в противоположную сторону, то он будет находиться в состоянии со спином -1/2 (1/2 вниз), такие состояния будем называть базисными. Эти состояния похожи на предметы 1 и 2 из предыдущего примера. Каждый из этих предметов обладает свойством проходить только через «свое» отверстие.

Пространство спиновых состояний двумерно. В первом случае вектор состояния будет направлен вдоль одной из осей, а во втором – вдоль другой, перпендикулярной первой. Любое другое спиновое состояние электрона может быть представлено в виде вектора в этой плоскости, т.е. как сумма двух векторов, лежащих вдоль этих осей.

Рассмотрим теперь, чему же будет соответствовать следующая дизъюнкция высказываний: «электрон имеет спин 1/2 вверх» ИЛИ «электрон имеет спин 1/2 вниз». Если мы возьмем просто объединение множеств векторов вдоль каждой из осей, то мы получим такое множество состояний (две перпендикулярные прямые), что электрон, состояние которого принадлежит этому множеству, будет откланяться ПШГ только в одну сторону. Однако, в кантовой физике возможна суперпозиция состояний. В этом случае электрон может отклониться ПШГ как вверх, так и вниз. Т.е. если мы проделаем опыт над ансамблем одинаковых электронов, то часть из них отклонится вверх, а часть вниз. Вот такое состояние и будет дизъюнкцией, которая аналогична приведенному выше примеру для классических объектов.

Но состояние электрона, которое отвечает возможности отклонится как вверх, так и вниз, есть состояние, вектор которого есть сумма векторов, лежащих вдоль осей базисных состояний.

5

Но такие векторы отвечают всей плоскости. Операции дизъюнкции отвечает подпространство, которое, как говорят, прямая сумма подпространств. Каждый вектор, принадлежащей прямой сумме, может быть представлен как сумма векторов, принадлежащих каждому из подпространств, образующих прямую сумму.

Но пока, в общем-то, ничего удивительного во всем этом не было. Но давайте рассмотрим более сложную ситуацию. Опять начнем с классической аналогии. Рассмотрим еще пару дырок Л и П.

3

Предметы 1, 2 и 3 проходят через дырку Л. Мы можем написать следующие сложное высказывание: «проходит через Л» И («проходит через В» ИЛИ «проходит через Н»). Применение высказывания к предметам 1, 2 и 3 делает его истинным. Раскроем скобки и получим следующее высказывание: («проходит через Л» И «проходит через В») ИЛИ («проходит через Л» ИЛИ «проходит через Н»). В нем операцией дизъюнкции соединены два высказывания, причем для истинности всего высказывания необходима истинность хотя бы одного из них. Например, первое высказывание («проходит через Л» И «проходит через В») будет истинно для предметов 2 и 3.

Вернемся опять к спиновым состоянием электрона. Положим ПШГ на бок, тогда он будет делить электроны на летящие вправо и влево. Рассмотрим электроны, которые всегда летят вправо («спин 1/2 вправо»). Этому состоянию отвечает вектор, который имеет равные компоненты вдоль осей «спин вверх» и «спин вниз». Опять образуем сложное высказывание: А = «спин 1/2 вправо» И («спин 1/2 вверх» ИЛИ «спин 1/2 вниз») = П*(В+Н). Тут введены обозначения А, П, В и Н для высказываний, и знаки * и + для логических операций И и ИЛИ. Такое высказывание вполне может быть истинным. Высказывание (В+Н) соответствует плоскости, Высказывание П соответствует прямой в этой плоскости. Их пересечение будет той же самой прямой, т.е. в данном случае, А = П.

Опять раскроем скобки, как и ранее, получим: Б = («спин 1/2 вправо» И «спин 1/2 вверх») ИЛИ («спин 1/2 вправо» И «спин 1/2 вниз») = (П*В)+(П*Н). Чтобы высказывание Б было истинным надо, что бы было истинным хотя бы одно из составляющих высказываний (П*В), (П*Н). Но эти высказывания оба ложны. Состояния, соответствующие высказываниям П, В, Н описываются в пространстве разными прямыми, которые пересекаются лишь в точке и никакого подпространства высказываниям (П*В), (П*Н) не соответствует. В квантовой механике невозможны состояния, описываемые высказываниями: «электрон имеет спин 1/2 вправо И спин 1/2 вверх», «электрон имеет спин 1/2 вправо И спин 1/2 вниз». Если электрон находится в состоянии «спин 1/2 вправо», то ПШГ он будет отклоняться как вверх, так и вниз. Таким образом, получаем, что высказывание А = П*(В+Н) истинно, и при этом высказывание Б = (П*В)+(П*Н) ложно. Т.е. в такой логике не выполняется дистрибутивность.

При обсуждении предыдущей части и ранее я задавал вопрос: существуют ли примеры, когда нечто соответствует посылкам, но не соответствует ФЛ следствиям из них? Такой пример легко получить, если выйти из области применимости обычной ФЛ, т.е. из области описания классической физики. Действительно, пусть в качестве исходной посылки примем истинность высказывания А = П*(В+Н). Высказывание Б = (П*В)+(П*Н) получается из А при использовании выполняющегося в обычной ФЛ свойства дистрибутивности. Тогда, согласно таблицы истинности для дизъюнкции, хотя бы одно из высказываний, связанных операцией дизъюнкции в высказывании Б (т.е. высказывания П*В, П*Н) должно быть истинным. Однако, электрон находящийся в состоянии П = «спин 1/2 вправо» не может находится в состоянии В = «спин 1/2 вверх» или в состоянии Н = «спин 1/2 вниз». Т.е. утверждение, что «хотя бы одно из высказываний П*В, П*Н должно быть истинным» является ложным.

Таким образом, правила логики (в данном случае, правила операций над высказываниями) являются отображением неких общих закономерностей, которые присуще предметам, про которые строится логическое описание. Этим то и объясняется «принудительность» законов логики, невозможность их «безнаказанно» нарушать. Но всегда следует помнить, что законы логики не есть абсолютно универсальные законы, верные всегда и всюду, с ним надо обращаться также осторожно, как и с другими законами (типа 2+2=4).

Comments:

[User Picture]
From:alisarin
Date:August 6th, 2013 09:10 am (UTC)
(Link)
== Тогда, согласно таблицы истинности для дизъюнкции, ...

Из всех этих рассуждений я делаю вывод, что Вы именно избегаете введения такого "начала" (среды, пространства), как "формальная система", в которой все эти логические условия и соблюдаются. Принцип формальной системы - это всякая комбинация полностью определяется комплексом частей, что даже не всегда так для математики, где последовательность натуральных чисел имеет размер бесконечной...
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:a_gorb
Date:August 6th, 2013 09:52 am (UTC)
(Link)
”избегаете введения такого "начала" (среды, пространства), как "формальная система", в которой все эти логические условия и соблюдаются”
Не избегаю, просто не об этом речь. Таких формальных систем можно придумать множество. Вопрос в том, почему из нескольких возможных выбирается одна. Мой ответ – выбирается та, которая наиболее адекватно отображает закономерности предметов, к которым она приложима. Т.е. такие системы есть не данная богом истина в последней инстанции, не результат привычки многократного повторения, а отображение общих закономерностей некого объекта.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:alisarin
Date:August 6th, 2013 12:01 pm (UTC)
(Link)
== Таких формальных систем можно придумать множество.

Вот именно! Именно здесь - и непонимание. Пусть их и много, это еще следует посмотреть, так ли это, но класс или комплекс признаков "формальная система" - один, другого не бывает. Точно также форм и видов глагола множество, но тип "глагол" - единственный.

Реальность же, причем не исключено, что и математическая, не всегда будет соответствовать основным критериям "формальной системы", ну а физический мир - уж и подавно, по крайней мере, в том виде, в каком его представляет современное познание.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:a_gorb
Date:August 6th, 2013 06:13 pm (UTC)
(Link)
”но класс или комплекс признаков "формальная система" - один, другого не бывает. Точно также форм и видов глагола множество, но тип "глагол" - единственный.”
Ок, пусть так. Подробно над этим не думал, но пока не вижу возражений. Что из этого следует на предмет обсуждаемой проблемы?

”Реальность же … не всегда будет соответствовать основным критериям "формальной системы", ну а физический мир - уж и подавно”
Ну да. Как раз удивление вызывает обратное, что мир уж очень хорошо соответствует правилам ФЛ. Настолько хорошо, что пока так никто и не дал ответа на заданный мной неоднократно вопрос: существуют ли примеры, когда нечто соответствует посылкам, но не соответствует ФЛ следствиям из них? (если конечно не считать вот этого ответа). Откуда берется такое хорошее соответствие?
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:alisarin
Date:August 6th, 2013 07:30 pm (UTC)
(Link)
== Что из этого следует на предмет обсуждаемой проблемы?

Прежде чем прибегать к какому-либо комбинированию, следует определить, не нарушает ли такое комбинирование сходимости, обязательной для формальной системы. Можно ли, например, к объединению двух объемов подходить именно как к объединению объемов в случае растворения одной жидкости в другой? Это физический пример, но у вас идет речь о высказываниях, которые "объединяются", что, на самом деле, похоже на фантастику: "Враг не ведал, дурачина, - тот, кому все поручил он, Был чекист, майор разведки и прекрасный семьянин." Высказывания "чекист", "майор разведки" и "прекрасный семьянин объединяются"? ... На сегодняшний просто... не существует такой науки логика :)

Пример посмотрел, "предел необходимой самообороны" - известное в праве понятие, да и суд линча вроде бы выходит за рамки права; Деточкина посадили, посадят и теперь, практически в любой национальной правовой системе.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:a_gorb
Date:August 7th, 2013 07:15 am (UTC)
(Link)
”у вас идет речь о высказываниях, которые "объединяются", что, на самом деле, похоже на фантастику”
Объединяются не высказывания. Над высказываниями производится операция логическое ИЛИ. Но есть еще и объекты, про которые эти высказывания. Каждому высказыванию можно (и нужно, что бы это высказывание имело отношение к объектам) сопоставить некое подмножество фазового пространства в классике и некое линейное подпространство в квантах. Тогда дизъюнкции высказываний будет соответствовать объединение множеств в классике и прямая сумма подпространств в квантах.

” "Враг не ведал, дурачина, - тот, кому все поручил он, Был чекист, майор разведки и прекрасный семьянин." Высказывания "чекист", "майор разведки" и "прекрасный семьянин объединяются"? ”
Обратите внимание, что в вашем примере использовано логическое И, а не ИЛИ. Т.е. конъюнкции «чекист, майор разведки и прекрасный семьянин» соответствует пересечение трех множеств, которые включают в себя чекистов, майоров разведки, прекрасных семьянинов.

” Пример посмотрел, "предел необходимой самообороны"…”
Я и не говорил, что это именно тот пример, который мне нужен. Но того, который мне нужен так и нет:)
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:alisarin
Date:August 7th, 2013 08:57 am (UTC)
(Link)
== Над высказываниями производится операция логическое ИЛИ

"Логическое ИЛИ" - это само собой многозначная вещь. Если у нас есть отрез материи и есть выбор ("ИЛИ"), наблюдать его с лица или с изнанки, то наши реакции здесь будут существенно различными. Но это не будет означать, что лицо и изнанка будут находиться в отношениях вытеснения. Когда мы оказываемся на развилке, подобно Илье Муромцу, мы именно становимся участниками отношений вытеснения - выбирать нам или правую или левую дорогу. "ИЛИ" это только необходимая основа для построения какой-то покоящейся на ней схемы, означающей, что элементы некоего множества образуют между собой отношения несовместимости, которые в качестве подобного рода связи несовместимости всякое располагает своей собственной "фигурой несовместимости". Что и, как я понимаю, делает невозможным прямой "прыжок из логики в онтологию".

== Т.е. конъюнкции «чекист, майор разведки и прекрасный семьянин» соответствует пересечение трех множеств

Здесь виноват, но мое внимание привлекла именно формула (П*В)+(П*Н) - я прочел ее как "И". :)
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:togo
Date:August 6th, 2013 04:54 pm (UTC)
(Link)

У меня вопрос. Кажется я чего-то не понимаю.

Высказывание (спин вверх ИЛИ спин вниз) и высказывание (суперпозиция вверх/вниз) это два разных высказывния. Но когда мы судим о истинности П*(В+Н) почему-то вместо первого подставляем второе. Не совершается ли тут подмена?
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:a_gorb
Date:August 6th, 2013 05:59 pm (UTC)
(Link)
”У меня вопрос.”
Очень правильный вопрос.

”Высказывание (спин вверх ИЛИ спин вниз) и высказывание (суперпозиция вверх/вниз) это два разных высказывния. ”
Не совсем так. Я написал: «Однако, в кантовой физике возможна суперпозиция состояний. В этом случае электрон может отклониться ПШГ как вверх, так и вниз. Т.е. если мы проделаем опыт над ансамблем одинаковых электронов, то часть из них отклонится вверх, а часть вниз. Вот такое состояние и будет дизъюнкцией». Т.е. по существу операция ИЛИ отвечает суперпозиции. Однако есть некая разница. Я бы сказал так: операция ИЛИ соответсвует всем возможным суперпозициям. Если мы берем два вектора, то все возможные суперпозиции этих векторов как раз дадут плоскость. Но может быть и некое определенное состояние, которое есть суперпозиция других состояний. Например, состоянию П отвечает строго определенная суперпозиция состояний спин вверх ИЛИ спин вниз такая, что компоненты вдоль осей «спин вверх» и «спин вниз» равны. Поэтому состояние П является частным случаем от В ИЛИ Н.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:togo
Date:August 6th, 2013 06:17 pm (UTC)
(Link)
Т.е. по существу операция ИЛИ отвечает суперпозиции.
Мне вообще непонятна природа этого "соответствия". Операция ИЛИ соединяет два высказывания, не больше и не меньше. Я понимаю, что сложение и умножение можно определить так, что дистрибутивность не будет выполняться, но какое всё это будет иметь отношение к логике высказываний?

Хорошо, я могу дать интерпретацию в духе "П является частным случаем от В ИЛИ Н" -- например, если под высказываниями понимать следующее:
П = при измерении горизонтальным прибором можем получить ПРАВО;
B = при измерении вертикальным прибором можем получить ВВЕРХ;
Н = при измерении вертикальным прибором можем получить ВНИЗ,
но в этом случае П*В и П*Н не будут ложными, т.е. опять проблема.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:a_gorb
Date:August 6th, 2013 06:30 pm (UTC)
(Link)
”Я понимаю, что сложение и умножение можно определить так, что дистрибутивность не будет выполняться, но какое всё это будет иметь отношение к логике высказываний?”
Виноват, я не пояснил в тексте что в формулах под * я понимаю логическое И, а под + логическое ИЛИ. (надо сделать апдейт)

”Операция ИЛИ соединяет два высказывания, не больше и не меньше.”
Совершенно верно. Вот тут и возникает вопрос, какое состояние отвечает такому сложному высказыванию. В классике – объединение подмножеств фазового пространства, в квантах – прямая сумма подпространств, т.е. все возможные суперпозиции. Такое определение операции ИЛИ для высказываний о квантовых объектах вполне приемлемо.

”Хорошо, я могу дать интерпретацию в духе … в этом случае П*В и П*Н не будут ложными, т.е. опять проблема.”
Вы дали совершенно верную интерпретацию. Действительно, в этом случае П*В и П*Н не будут ложными. Но у вас речь идет о возможных результатах измерений, а такие результаты описываются вполне классически и для их описания вполне пригодна обычная ФЛ. Ситуация меняется, когда заходит речь о состояниях квантового объекта.


Edited at 2013-08-06 06:31 pm (UTC)
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:togo
Date:August 6th, 2013 08:00 pm (UTC)
(Link)
Да про звёздочки и плюсики я понял. Я имел ввиду что Вы определяете логическое И и логическое ИЛИ. Но разве нужно их как-то определять? Разве они уже не определены? При чём здесь физика вообще? Т.е. в ряду других высказываний мы можем использовать и высказывания из области физики, но определение И или ИЛИ разве это должно затрагивать?
Вот тут и возникает вопрос, какое состояние отвечает такому сложному высказыванию.
Это ведь зависит только от того, что Вы понимаете под В и Н. Если под В и Н понимаются собственные состояния, то и в В+Н никакой суперпозиции быть не может. Этой дизъюнкции соответствуют всё те же собственные состояния. А если В и H не собственные, то П*B и П*Н не ложно, т.е. я не понимаю как это "ситуация меняется, когда заходит речь о состояниях квантового объекта", ведь эти высказывания легко переформулировать из терминов "результатов измерения" в термины "состояний".
Чтой-то я всё-таки не понимаю в чём тут фишка :)
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:a_gorb
Date:August 7th, 2013 07:45 am (UTC)
(Link)
”Я имел ввиду что Вы определяете логическое И и логическое ИЛИ. Но разве нужно их как-то определять? … определение И или ИЛИ разве это должно затрагивать? ”
Спасибо за конструктивные вопросы. Видимо надо будет внести еще изменения в текст. Я не определяю логические И и ИЛИ. Они остаются совершенно обычными и задаются, например, таблицами истинности. Я (на самом деле, еще раз подчеркну, не я, я тут просто следую указанной статье, но для краткости буду говорить я) определяю, во-первых, чему соответствует высказывание, что является, как говорят, носителем высказывания. Это некое подмножество фазового пространства в классике и некое линейное подпространство в квантах. А во-вторых, что будет соответствовать дизъюнкции высказываний. Ей будет соответствовать объединение множеств в классике и прямая сумма подпространств в квантах. Т.е. это все никак не затрагивает определения И и ИЛИ, они не меняются.

”Это ведь зависит только от того, что Вы понимаете под В и Н.”
Тут скорее речь идет не о том, что понимать под В и Н, а о том, что понимать под В+Н (В ИЛИ Н).
”Если под В и Н понимаются собственные состояния, то и в В+Н никакой суперпозиции быть не может. Этой дизъюнкции соответствуют всё те же собственные состояния.”
Ок. Пусть так. Имеем электрон, который находится в неком состоянии. Проводим эксперимент над ансамблем таких одинаковых электронов. (Подчеркну, одинаковых, т.к. если мы возьмем разные электроны, то ничего особенного в том, что часть из них отклонится вверх, а часть вниз, нет.) Результаты эксперимента могут быть следующие: электроны отклоняются вверх, электроны отклоняются вниз, электроны отклоняются как вниз, так и вверх. Все эти исходы соответствуют дизъюнкции В+Н. Вопрос, какие состояния электрона этому соответствуют?
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:togo
Date:August 7th, 2013 08:57 am (UTC)
(Link)
Тут скорее речь идет не о том, что понимать под В и Н, а о том, что понимать под В+Н (В ИЛИ Н).
Понимать под В+Н тут можно только то, что электрон находится или в состоянии В, или в состоянии Н. Т.е. однозначно определить состояние имея только истинное высказывание В+Н вообще невозможно, оно не задаёт состояние. Можно только сказать, что некий набор состояний удовлетворяет высказыванию (ну, можно сказать задаёт набор). То же, что и в классическом случае.

Результаты эксперимента могут быть следующие ..
электроны отклоняются вверх -- имеем собственное состояние ВВЕРХ (B)
электроны отклоняются вниз -- имеем собственные состояния ВНИЗ (Н)
электроны отклоняются как вниз, так и вверх -- суперпозиция (С) или может быть (П)

Если все эти исходы соответствуют дизъюнкции, то эта дизъюнкция такова
B+H+C или может быть В+Н+П
(разумеется мы не путаем использование знака "+" здесь как дизъюнкции и использование знака "+" в квантовомеханических формулах при записи суперпозиционных состояний)
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:a_gorb
Date:August 7th, 2013 07:38 pm (UTC)
(Link)
”однозначно определить состояние имея только истинное высказывание В+Н вообще невозможно, оно не задаёт состояние. Можно только сказать, что некий набор состояний удовлетворяет высказыванию (ну, можно сказать задаёт набор). То же, что и в классическом случае.”
Согласен. Вот и возникает вопрос, а какой набор состояний удовлетворяет высказыванию В+Н? Ответ фон Неймана – состояние из этого набора должно принадлежать прямой сумме подпространств, удовлетворяющих по отдельности высказываниям В и Н. А в классическом случае – объединение множеств точек фазового пространства.

”электроны отклоняются вверх -- имеем собственное состояние ВВЕРХ (B)
электроны отклоняются вниз -- имеем собственные состояния ВНИЗ (Н)
электроны отклоняются как вниз, так и вверх -- суперпозиция (С) или может быть (П)”

П есть просто частный случай суперпозиции. Но ведь и суперпозиция может включать базисные (собственные) состояния и с весом 0. Тогда и В, и Н есть частные случаи С.

”эта дизъюнкция такова B+H+C или может быть В+Н+П”
По существу вы предлагаете использовать вместо прямой суммы подпространств их объединение как множеств. Но тут вот какая проблема. В классике состояние это точка в фазовом пространстве. Можно задать некий набор состояний, это будет (под)множество точек в фазовом пространстве. Далее, с этими множествами можно проделывать некие операции, соответствующие логическим операциям. И мы всякий раз будем получать некое (под)множество. Т.е. объект той же самой природой. В квантах состояние это линия в гильбертовом пространстве. Набор состояний – подпространство. В результате логических операций И и НЕ опять получим подпространства. Хотелось бы и в результате операции логическое ИЛИ опять получить подпространство. Для этого операции ИЛИ должна соответствовать прямая сумма подпространств, она дает новое подпространство. Если же вместо этого использовать теоретико-множественную сумму (объединение), то в результате мы не получим подпространство, а некий новый объект.

Вообще, тут можно рассуждать еще и так. Определим, что операции логическое ИЛИ соответствует прямая сумма подпространств. Получим новую логику, которая от обычной ФЛ отличается только тем, что не работает дистрибутивность.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:togo
Date:August 8th, 2013 06:50 am (UTC)
(Link)
Пока мне представляется, что квантовая механика тут не при чём.
Рассмотрим, например компасную стрелку (рис.1) и фазовое пространство её положений. Рассмотрим также дырки В, Н, П (рис.2). Далее, определим что операции логическое ИЛИ соответствует дырка на рисунке 3, полученная проворотом по часовой строелке от В к Н и от Н к В (потому что это вполне приемлемо / потому что нам так нравится).

10.00 КБ

Итак, теперь
П*(В+Н) истинно
(П*В)+(П*Н) ложно
Получили новую логику, в которой не работает дистрибутивность.
И далее вывод "в Вашем стиле".
"Существуют ли примеры, когда нечто соответствует посылкам, но не соответствует ФЛ следствиям из них? Такой пример легко получить, если выйти из области применимости обычной ФЛ" и попасть в область компасных стрелок. Хотя, казалось бы, причём здесь ФЛ?
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:a_gorb
Date:September 29th, 2013 09:08 am (UTC)
(Link)
Пардон. Запарил вовремя ответить:)

”Получили новую логику, в которой не работает дистрибутивность.”
Вы привели очень хороший пример того, что можно построить достаточно произвольное исчисление, т.е. логику. И даже совсем не обязательно, что бы эта логика хоть чему-то в действительности соответствовала. И также ваш пример демонстрирует, что надо внимательно следить за тем, чему соответствуют логические операции.

Теперь о логике КМ. Тут вот какая ситуация. Фон Нейман построил такое исчисление в котором отличие от Булевой алгебры заключается только в невыполнении дистрибутивности. Все остальное сохранилось. И это исчисление вполне соответствует КМ описанию.

Можно рассмотреть вот еще какой пример. Рассмотрим следующие высказывания «неверно, что электрон имеет спин 1/2 вверх», «неверно, что стрелка проходит через дырку В». Какое состояние электрона и какая дырка соответствуют этим высказываниям?
(Reply) (Parent) (Thread)