?

Log in

No account? Create an account

Задача о мухе - a_gorb — LiveJournal

Mar. 4th, 2013

06:49 pm - Задача о мухе

Previous Entry Share Flag Next Entry

Навеяло недавним обсуждением апории Зенона об Ахилле и черепахе. (свое мнение также высказывал здесь)

В этой апории непрерывный процесс мысленно разбивается на ряд шагов. Но есть известная задача, в которой шаги не мысленные, а действительные. Пусть два человека находятся на расстоянии 100м и идут навстречу друг другу каждый со скоростью 1м/с. Между ними от одного к другому и обратно летает муха со скоростью 10м/с. Какое расстояние пролетит муха до момента встречи людей?

С этой задачей связан анекдот. Одному известному математику предложили эту задачу, спустя пару секунд он выдал ответ. «Как вы быстро сообразили, – сказали ему. – А вот некоторые составляют бесконечный ряд и ищут его сумму». «А что, разве есть другое решение?! – удивился математик».

Используя логику апории Зенона докажем, что эти два человека никогда не встретятся. Сколько бы раз не пролетела муха между ними, у нее будет возможность совершить еще один полет. Так, что муха будет летать бесконечно:)

Напомню одну из формулировок апории: «Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.»

Comments:

[User Picture]
From:kaktus77
Date:March 4th, 2013 05:13 pm (UTC)
(Link)
Меня в своё время поразил современный вариант апории Зенона - луч света (супер лазер и всё такое) никогда не догонит звездолет, двигающийся с черепашьим (но постоянным) ускорением 1g. Если, конечно, первоначальное расстояние между ними достаточно велико (больше одного светового года, примерно). Хотя и скорость звездолета всегда будет меньше скорости света, естественно.
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:a_gorb
Date:March 4th, 2013 07:04 pm (UTC)
(Link)
Меня это в свое время поразило в виде парадокса Белла о двух звездолетах, летящих с равным постоянным ускорением.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:kaktus77
Date:March 4th, 2013 07:16 pm (UTC)
(Link)
Ну, это не так бьёт по интуиции, относительность одновременности уже довольно привычна.
А вот то, что свет кого-то может не догнать, будучи всегда самым быстрым, - это прямо праздник у Зенона там :) Там же еще и как бы обратный ход времени получается (для тех, кто за горизонтом событий), это тоже многих в ступор вгоняет.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:a_gorb
Date:March 4th, 2013 07:25 pm (UTC)
(Link)
”Ну, это не так бьёт по интуиции,”
Да не спорю, просто зависит от обстоятельств. Если нарисовать траекторию звездолета и лучей света в координатах x-t в лабораторной СО, то сразу просто и наглядно видно, что есть лучи, которые звездолет не догонят. А вот если нарисовать траектории двух звездолетов, то совсем неочевидно, что происходит с расстоянием между ними.

(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:kaktus77
Date:March 5th, 2013 05:59 pm (UTC)
(Link)
Посмотрел, что пишут про парадокс Белла в тырнетах. Имхо, там вся парадоксальность и неочевидность из-за того, что всё наврали. Уж не знаю, кто был первым, но все просто повторяют глупости, не задумываясь. Вот возьмем вики, например:

1. В версии Белла два космических корабля, вначале покоящиеся относительно некоторой инерциальной системы отсчёта (ИСО), соединяются натянутой до предела струной. В нулевой момент времени по часам соответствующей ИСО оба корабля начинают ускоряться с постоянным собственным ускорением , измеряемым размещёнными на борту каждого корабля акселерометрами...

2. В соответствии с изложением Девана и Берана, а также Белла, в системе отсчёта «стартовых площадок» (относительно которой корабли покоились до начала работы двигателей и которую мы будем называть СО ) расстояние между кораблями и — , должно оставаться постоянным «по определению»...

Здесь уж одно из двух - либо в СО старта постоянная длина (а значит, одинаковые ускорения именно в этой СО). И тогда не может быть одинаковых и постоянных ускорений в сопутствующих СО ракет.
Либо же одинаковые и постоянные ускорения в собственных (сопутствующих) СО ракет, тогда, очевидно в СО старта расстояние между кораблями будет уменьшаться. Обычное лоренцевое сжатие.

И дальше там вся эта хрень цветет пышным цветом - текст прыгает то в одну позицию, то в другую, от чего, конечно, не только крыша поедет :)


Edited at 2013-03-05 06:01 pm (UTC)
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:a_gorb
Date:March 5th, 2013 06:39 pm (UTC)
(Link)
Ну вот, а я решил, что мне тут все понятно:)

”в СО старта постоянная длина (а значит, одинаковые ускорения именно в этой СО). И тогда не может быть одинаковых и постоянных ускорений в сопутствующих СО ракет.
Либо же одинаковые и постоянные ускорения в собственных (сопутствующих) СО ракет, тогда, очевидно в СО старта расстояние между кораблями будет уменьшаться. Обычное лоренцевое сжатие.”

Мне кажется, что тут вы ошибаетесь. Изобразим траектории ракет в координатах x-t в СО старта. Для начала рассмотрим случай, когда расстояние между ракетами равно нулю (и плевать, что это невозможно). Тогда это две совпадающие траектории. Теперь пусть одна из ракет стартует впереди другой на расстоянии L. Тогда надо ее траекторию просто сдвинуть на это расстояние. Вот и все. У нас будут две ракеты, двигающиеся с одинаковым собственным ускорением.
(Reply) (Parent) (Thread) (Expand)
[User Picture]
From:kaktus77
Date:March 15th, 2013 06:02 am (UTC)
(Link)
Отвечаю здесь, поскольку там мне весь экран перекорежило :)

Я Вам про Фому, а Вы про Ерему. Я же спрашиваю, откуда Вы взяли вот этот перл: "второй порядок можно убирать по сравнению с первым, а не с нулем"? А то как-то некрасиво получается - требуете от меня ссылок на таблицу умножения, а сами скрываете источник тайной мудрости. Кстати, жгуче интересует вопрос, а по сравнению с единицей (а не нулем) можно убирать? :)

А те цитаты, которые Вы привели совершенно ни о чем. Про Уиллера я Вам сам сказал, и прекрасно знаю этот текст (и пользуюсь им).
Вторая же цитата - это мне всё известно, у меня самого лежит на винте пара статей с подобными рассуждениями. Я ж Вам и говорю, что пункт 8) там - это очевидная ошибка. Ошибочность этого пункта можно доказать и так и сяк, можно даже вообще не использовать анализ. Но требуется минимальное понимание СТО, чего, как я вижу, сложно от Вас ожидать.

Впрочем, мне как раз не сложно привести и это рассуждение. И может быть даже будет толк, если Вы попытаетесь разобраться, а не продолжите транслировать тайную мудрость из секретного источника.

1) В момент времени t по собственным часам ракеты 1 мы имеем: мгновенно-сопутствующую ИСО M1t, в которой ракета 1 неподвижна и имеет координаты (0,t), а так же - ИСО С1t, относительно которой неподвижны стартовые платформы и которая синхронизирована с M1t в некой точке (0,0) (которая, очевидно, не совпадает ни с местом, ни с временем старта первой ракеты).
Мы можем посчитать теперь координаты любого объекта в С1t, исходя из его координат в M1t. Возьмем для определенности место старта первой ракеты. Обозначим его координаты в С1t как (Xs1(t), Ts1(t)), очевидно, что Xs1 и Ts1 есть функции от t (считать уж тут не будем, это совсем несложно).

2) Аналогично можно получить координаты того же объекта (места старта первой ракеты) в С2t - (Xs2(t), Ts2(t)). Очевидно, что Ts1(t) не будет равно Ts2(t). Хотя бы потому, что Ts1(t) в С2t - это время старта второй ракеты, а относительно этой СО ракеты стартовали не одновременно.
Вот разница между ними (DT = Ts2(t) - Ts1(t)) - это есть разница между наборами часов С1t и С2t

3) Эта разница сама по себе не имеет физического смысла - это всего лишь временной сдвиг между часами двух СО, неподвижных относительно друг друга, но

а) DT есть функция t - DT = DT(t), т.е. это не константа;
б) хотя движение ракеты 1 с точки зрения С1t выглядит так же, как и движение ракеты 2 с точки зрения С2t, но выглядят они одинаково в разных СО, смещенных относительно друг друга на DT(t). Если же мы хотим рассматривать эти два движения вместе, в одной СО (например, в С1t, но это не принципиально), то должны учитывать это смещение

Таким образом мы не просто переносим график движения первой ракеты вправо по оси X - чтобы получить график движения второй ракеты, - но и должны сдвинуть его во времени. Как всегда в СТО :) (Откуда и получается что t1 не равно t2 в ранее приведенной формуле расстояния между ракетами).

Если посчитать, кстати, то время ускорения второй ракеты (справа, двигаются направо) будет в СО старта больше в (1 + ax/c^2) раз.


Edited at 2013-03-15 06:16 am (UTC)
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:a_gorb
Date:March 15th, 2013 07:53 am (UTC)
(Link)
==Я же спрашиваю, откуда Вы взяли вот этот перл: "второй порядок можно убирать по сравнению с первым, а не с нулем"? А то как-то некрасиво получается - требуете от меня ссылок на таблицу умножения, а сами скрываете источник тайной мудрости. Кстати, жгуче интересует вопрос, а по сравнению с единицей (а не нулем) можно убирать? :)==
Отвечу на это позже.

==Вторая же цитата - это мне всё известно, у меня самого лежит на винте пара статей с подобными рассуждениями.==
==тайную мудрость из секретного источника==
Это не цитата, это я сам утром за 15 минут набросал:)

==пункт 8) там - это очевидная ошибка==
Пункт 8) выводится алгебраически из пункта 7). Где тут ошибка? Какой у вас вывод получится о расстоянии между ракетами в момент времени в ЛИСО t1=t2=T?
А если при переходе от п.7 к п.8 ошибки нет, то где она?
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:kaktus77
Date:March 15th, 2013 08:58 am (UTC)
(Link)
== Пункт 8) выводится алгебраически из пункта 7). Где тут ошибка?

Не только алгебраически, там написано "в любое время в ЛИСО", но не доказано, что это любое время одно и то же для обеих ракет. Собственно, в том и дело, что оно разное.

(8) верно для каждой ракеты в отдельности - для "своей" ЛИСО. Если же перевести всё в одно ЛИСО, то будет уже не так.

Edited at 2013-03-15 09:01 am (UTC)
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:a_gorb
Date:March 15th, 2013 10:03 am (UTC)
(Link)
==не доказано, что это любое время одно и то же для обеих ракет. Собственно, в том и дело, что оно разное==
Имеем ЛИСО. В этой ЛИСО я могу описывать движение обоих ракет? Могу, я в ней могу описывать движение чего угодно. Но что значит описывать движение какого либо тела, это значит, что я определяю его координату в этой ЛИСО в различные моменты времени. Пусть теперь у нас есть два тела (две ракеты). Я могу определить координаты ракет в один и тот же момент времени в этой ЛИСО? – Могу.

Я, разумеется, могу рассматривать координаты ракет в различные моменты времени, но зачем? Приведу такой пример. Пусть есть два автомобиля, которые в некой ИСО движутся друг за другом в одном направлении. Пусть скорости автомобилей постоянны и равны друг другу. Если теперь я возьму координаты автомобилей в один и тот же момент времени по этой ИСО, то увижу, что расстояние между автомобилями не меняется, какой бы момент времени я не взял. Разумеется, я могу взять координаты автомобилей в разные моменты времени. Но тогда разность этих координат уже не будет расстоянием между ними. С этим вы согласны?

Вот и здесь я рассматриваю положения ракет в некий определенный, одинаковый для обеих ракет момент времени в ЛИСО. Т.к. только в этом случае разность их координат будет расстоянием между ними в данной ЛИСО.
Или может быть у нас с вами разное понимание термина «расстояние между ракетами» в ИСО старта (примечание: тут у меня везде ЛИСО и ИСО старта тождественные понятия). Тогда предложите свой вариант.

Разумеется, если взять другую ИСО, которая движется относительно ЛИСО, то в ней одинаковый для ЛИСО моменты времени уже будут разными. Но мы рассматриваем не какую либо произвольную ИСО, и именно такую ЛИСО, из которой ракеты стартуют одновременно, т.е. обе ракеты в момент времени t=0 одновременно начинают движение. В этой ЛИСО точки старта ракет неподвижны.

Теперь возникает такой вопрос. У каждой ракеты есть собственное время. Как соотносятся эти времена со временем в ЛИСО? Из формул п.5, которые также продублированы в п.7, следует, что в один и тот же момент времени ЛИСО собственные времена обоих ракет будут равны.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:a_gorb
Date:March 15th, 2013 07:54 am (UTC)
(Link)
== если Вы попытаетесь разобраться ==
Попробую.

1) ==В момент времени t по собственным часам ракеты 1 мы имеем: мгновенно-сопутствующую ИСО M1t, в которой ракета 1 неподвижна и имеет координаты (0,t)==
Понятно
==а так же - ИСО С1t, относительно которой неподвижны стартовые платформы и которая синхронизирована с M1t в некой точке (0,0) (которая, очевидно, не совпадает ни с местом, ни с временем старта первой ракеты)==
Понятно, в ИСО С1t точки старта неподвижны. Да, такую ИСО всегда можно выбрать.
== Мы можем посчитать теперь координаты любого объекта в С1t, исходя из его координат в M1t.==
Да, можем.
== Возьмем для определенности место старта первой ракеты. Обозначим его координаты в С1t как (Xs1(t), Ts1(t))==
Ок.
==очевидно, что Xs1 и Ts1 есть функции от t==
Не очевидно, т.к. выше было указано, что стартовые платформы неподвижны в ИСО С1t, а неподвижно – это значит Xs1=const в ИСО С1t.
Зависимость от времени тут у вас видимо возникает только из-за того, что сама ИСО С1t в каждый момент времени t другая. Но тогда Xs1(t) характеризует изменение координаты точки старта при изменении ИСО С1t. Так?

2) == Аналогично можно получить координаты того же объекта (места старта первой ракеты) в С2t==
Правильно ли я понял, что ИСО C2t – это ИСО относительно которой неподвижны стартовые платформы и которая синхронизирована с M2t (ИСО в которой ракета 2 неподвижна и имеет координаты (0,t)) в некой точке (0,0)? Т.е. теперь t – это момент времени по собственным часам ракеты 2?

Пока на этом остановлюсь. Т.к. хотел бы сначала уточнить уже возникшие вопросы.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:kaktus77
Date:March 15th, 2013 08:48 am (UTC)
(Link)
== Зависимость от времени тут у вас видимо возникает только из-за того, что сама ИСО С1t в каждый момент времени t другая. Но тогда Xs1(t) характеризует изменение координаты точки старта при изменении ИСО С1t. Так?

Да, конечно. И я там неточно написал. Мы берем не просто объект (от этого толка нет), а событие. Т.е. объект в момент определенного действия. В данном случае стартовую платформу 1 в момент старта ракеты.

И тогда Xs1(t) характеризует изменение координаты события старта при изменении ИСО С1t.

== Правильно ли я понял, что ИСО C2t – это ИСО относительно которой неподвижны стартовые платформы и которая синхронизирована с M2t (ИСО в которой ракета 2 неподвижна и имеет координаты (0,t)) в некой точке (0,0)? Т.е. теперь t – это момент времени по собственным часам ракеты 2?

Да, предполагается, что t=t2 = t1, конечно. Это надо, конечно, специально указать.

Смысл следующего шага теперь состоит в том, что мы получаем координаты одного и того же события из разных СО - C1t и C2t (которые полностью заданы выбором координат ракет 1 и 2 в СО М1t и M2t).

Событие одно, а координаты разные - это и означает сдвиг часов между C1t и C2t.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:a_gorb
Date:March 15th, 2013 05:33 pm (UTC)
(Link)
==Xs1(t) характеризует изменение координаты события старта при изменении ИСО С1t==
Понятно.
==Да, предполагается, что t=t2 = t1
Ок. Тогда пойдем дальше.

3) ==временной сдвиг между часами двух СО, неподвижных относительно друг друга==
Ок. ИСО С1t и С2t неподвижны друг относительно друга.

==Смысл следующего шага теперь состоит в том, что мы получаем координаты одного и того же события из разных СО - C1t и C2t (которые полностью заданы выбором координат ракет 1 и 2 в СО М1t и M2t).==
Ок. Понятно.

Пойдем дальше.
==DT есть функция t - DT = DT(t), т.е. это не константа;==
Хочу это проверить вычислениями соответствующих времен. Поэтому сделаю паузу.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:kaktus77
Date:March 21st, 2013 09:54 am (UTC)
(Link)
== Хочу это проверить вычислениями соответствующих времен.

Как успехи?

== Я могу определить координаты ракет в один и тот же момент времени в этой ЛИСО? – Могу.

Можете

== Или может быть у нас с вами разное понимание термина «расстояние между ракетами» в ИСО старта

Понимание одинаковое - расстояние между ракетами, зафиксированное в одно и то же время в ЛИСО. Или можно сказать - разница координат X при равных T (показаниях синхронизированных часов в этих точках)

== Из формул п.5, которые также продублированы в п.7, следует, что в один и тот же момент времени ЛИСО собственные времена обоих ракет будут равны.

Не следует. Здесь как раз и ошибка.

Вот давайте, рассмотрим более простой случай равномерного движения. Если некий объект имеет в ИСО, движущейся со скоростью v, координаты (0,t), то в ЛИСО координаты этой точки будут (vt*Г(v), t*Г(v)), где Г(v) - гамма фактор для скорости v.
Но это вовсе не означает, что любой точке в момент времени T по часам ЛИСО будет соответствовать время T/Г(v) в "движущейся" ИСО. Наоборот, это будет выполняться только в двух случаях - либо когда x=0 (в ИСОv), либо когда v=0 (или бесконечно близко к 0).

Таким образом формула t = T/Г(v) - это не про переход от одного показания часов (в одной СО) к другому (в другой СО), а про то, что часы в одной СО ходят медленнее, чем в другой, в гамма раз, с точки зрения второй СО.

То же самое и для формул (5) и (7) - рассматривать их как переход от времени ЛИСО к времени СО ракеты можно только в частных случаях - когда x равен 0 или v -> 0, а в общем случае это не так. Эти формулы говорят лишь о том, что с точки зрения ЛИСО время на ракете течет медленнее (T = sh(at)), а какое там нынче показание часов - это зависит от Х-координаты ракеты, а не только от T.

зы "То же самое и для формул (5) и (7) - рассматривать их как переход от времени ЛИСО к времени СО ракеты можно только в частных случаях - когда x равен 0"

Это, кстати, тоже сомнительно. Надобно проверить.

зы 2. Проверил - не сомнительно, а просто не верно. Собственному времени ракеты t соответствует время (ch-1)/v в ЛИСО (а вовсе не sh). То бишь координаты (0,t) МИСО ракеты переходят в (ch-1, (ch - 1)/v) ЛИСО, что в общем-то более чем очевидно.

Edited at 2013-03-21 01:36 pm (UTC)
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:a_gorb
Date:March 21st, 2013 04:16 pm (UTC)
(Link)
”Как успехи?”
Плохо, нет времени.

”Понимание одинаковое - расстояние между ракетами, зафиксированное в одно и то же время в ЛИСО.”
Обращу ваше внимание, что тут возможна путаница с терминами, на всякий случай: ЛИСО – это лабораторная ИСО, т.е. ИСО старта.
”Или можно сказать - разница координат X при равных T (показаниях синхронизированных часов в этих точках)”
Значит, все-таки возможно, что понимание разное. Что такое «показаниях синхронизированных часов в этих точках»?
Давайте рассмотрим более простой случай. Возьмем равномерно движущийся в ЛИСО стержень. Рассмотрим его длину в момент времени T в ЛИСО. Пусть на концах стержня закреплены часы, которые синхронизованы с той ИСО, в которой стержень неподвижен. Будут ли совпадать показания часов друг с другом в момент времени T в ЛИСО?

”Не следует. Здесь как раз и ошибка.”
Но вы согласны, что 8) следует из 7), а 7) следует из 5)?
Значит ошибка, если есть, то в п.5)

” Если некий объект имеет в ИСО, движущейся со скоростью v, координаты (0,t), то в ЛИСО координаты этой точки будут (vt*Г(v), t*Г(v)), где Г(v) - гамма фактор для скорости v. ”
Согласен.

” Но это вовсе не означает, что любой точке в момент времени T по часам ЛИСО будет соответствовать время T/Г(v) в "движущейся" ИСО. ”
Согласен. Но вот вопрос. Как соотносятся промежутки времени? Подробнее: Рассмотрим промежуток времени ΔT по часам ЛИСО, скажем между 0 и T, ΔT=T-0. Рассмотрим две точки A и B неподвижные в ИСОv в те же самые моменты времени в ЛИСО. Для этих точек введем следующие времена в ИСОv: ta1 и tb1 – времена, когда по часам ЛИСО было 0; ta2 и tb2 - времена, когда по часам ЛИСО было T (для точек A и B соответственно). Как соотносятся времена Δta=ta2-ta1 и Δtb=tb2-tb1 друг с другом и с ΔT?

”Проверил - не сомнительно, а просто не верно.”
Ок. Тогда укажите где ошибка в выводе формулы 5).
”То бишь координаты (0,t) МИСО ракеты переходят в (ch-1, (ch - 1)/v) ЛИСО, что в общем-то более чем очевидно.”
Мне не очевидно, давайте вывод подробнее.
И еще вопрос: в ракете стоят часы, обозначим показываемое ими время τ (тау), которые установили в момент старта так, что τ=0. Как соотносятся τ и t?
(Reply) (Parent) (Thread) (Expand)