a_gorb (a_gorb) wrote,
a_gorb
a_gorb

Categories:

Противоположности и противоречия в физике. Законы Ньютона

Продолжение.
Механика. Движение и покой
Механика. Масса
Корпускулярно-волновой дуализм
Количество движения и живая сила


Размещено в сообществе dia_logic. Комментировать лучше там, хотя конечно можно и тут.

Эпиграф. Формулировку закона Ома необходимо уточнить следующим образом: «Если использовать тщательно отобранные и безупречно подготовленные исходные материалы, то при наличии некоторого навыка из них можно сконструировать электрическую цепь, для которой измерения отношения тока к напряжению, даже если они производятся в течение ограниченного времени, дают значения, которые после введения соответствующих поправок оказываются равными постоянной величине. из кн. «Физики продолжают шутить»

Эта заметка посвящена законам Ньютона и прежде всего второму закону. Законы Ньютона нередко служат примером идеала для открываемых наукой законов природы. По-видимому, оно так и есть. «Все физики согласны с тем, что задача физики состоит в приведении явлений природы к простым законам механики. Однако в вопросе о том, какими являются эти простые законы, мнения расходятся. Большинство понимает под этими законами просто ньютоновы законы движения.» [Герц Г. Принципы механики, изложенные в новой связи]

Однако, небезынтересно рассмотреть эти законы с точки зрения логики и тех дискуссий и споров, которые возникали по их поводу. Поскольку законы Ньютона являлись наиболее полной формулировкой классической механики, то ранее уже упоминались некоторые связанные с ними проблемы, здесь я неизбежно кое-что повторю из предыдущих заметок. Опять будет много цитат, поскольку я не имею большого желания пересказывать своими словами то, что другие сказали до и лучше меня.

Несмотря на простоту формулировок и огромные результаты достигнутые посредством применения этих законов, в физике двести с лишним лет не было полной удовлетворенности ими. «большинство ее [механики] принципов или неясных самих по себе, или неясно сформулированных и доказанных, давали повод к ряду трудных вопросов.» [Даламбер Ж. Динамика. Трактат, в котором законы равновесия и движения тел сводятся к возможно меньшему числу и доказываются новым способом. И в котором излагается общее правило для нахождения движения нескольких тел, действующих друг на друга произвольным образом. 1743]

И так, приведем второй закон в формулировке Ньютона:
«Закон II
Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.» [Ньютон И. Математические начала натуральной философии.]
В современной формулировке, практически идентичной Ньютоновой, это обычно записывается в виде хорошо известной формулы F=ma (сила F равна произведению массы m на ускорение a). При постоянной массе «изменение количества движения» и есть ma. (Необходимо отметить, что ускорение, количество движения (импульс), сила являются векторами, т.е. характеризуются величиной и направлением. К сожалению, в ЖЖ постах не очень удобно использовать векторные обозначения в формулах.)

И тут возникают две основные сложности. Первая связана со смыслом законов, с тем, что же означают входящие в эти законы понятия, а вторая с областью применимости законов Ньютона.


Что бы считать формулу F=ma законом, необходимо по отдельности определить входящие в нее величины. «Спросим же: в чем смысл физических законов Ньютона, в чем смысл формулы F=ma? В чем смысл силы, массы и ускорения?» [Фейнмановские лекции по физике. 1. Современная наука о природе. Законы механики] С ускорением тут особых проблем не возникает («мы можем также определить ускорение, если нам понятно, что такое место и что такое время» [Фейнман]), поэтому сосредоточимся на понятиях массы и силы.

Ньютон следующим образом определяет входящие во второй закон величины.
«Количество движения есть мера такового, устанавливаемая пропорционально скорости и массе.»
«Количество материи есть мера таковой, устанавливаемая пропорционально плотности и объему ее. <…> Это же количество я подразумеваю в дальнейшей под названиями тело или масса.»
«Приложенная сила есть действие, производимое над телом, чтобы изменить по состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Сила проявляется единственно только в действии, и по прекращении действия в теле не остается. Тело продолжает затем удерживать свое новое состояние вследствие одной только инерции.» [Ньютон]

Такого же типа «определения» силы содержаться и в трудах его последователей.
«Все то, что побуждает тело к движению, называют вообще силой, или движущей причиной. <…> Тело, приведенное однажды какой-либо причиной в движение, должно неизменно пребывать в состоянии равномерного прямолинейного движения, пока на него не подействует какая-нибудь новая причина, отличная от той, которая привела его в движение.»[Даламбер]
«Итак, всякий раз, когда мы видим, что движущееся тело начинает двигаться скорее или медленнее, мы должны это изменение приписать внешней причине. <…> Сила есть то усилие, которое переводит тело из состояния покоя в состояние движения или видоизменяет его движение. Всякое тело, предоставленное самому себе, или пребывает в покое или движется равномерно и прямолинейно. Поэтому всякий раз, когда свободное тело, находившееся ранее в покое, начинает двигаться или когда оно продвигается неравномерно или непрямолинейно, причину этого надо приписать какой-нибудь силе: ведь все то, что может вывести тело из его состояния, мы называем силой.» [Эйлер Леонард. Основы динамики точки. Первые главы из «Механики» (1736) и из
«Теории движения твердых тел» (1765)]

Тут сразу бросается в глаза, что сила определяется через способность изменять скорость тела, но последнее утверждение и есть второй закон и, значит, мы по-прежнему не знаем, что обозначено символом F. Таким образом, тут возникает порочный круг, суть которого очень хорошо изложена Фейнманом: «…сосредоточимся на новом понятии силы. И здесь ответ тоже весьма прост: если тело ускоряется, значит, на него действует сила. Так говорят законы Ньютона, и самое точное и красивое из мыслимых определений силы состояло бы в том, что сила есть масса тела, умноженная на его ускорение. Имеется, положим, закон, что импульс сохраняется тогда, когда сумма внешних сил равна нулю. И вот у нас спрашивают: «А что это значит: сумма внешних сил равна нулю?» И мы любезно отвечаем: «Когда полный импульс постоянен, то сумма внешних сил равна нулю». Нет, здесь что-то не то. Ведь ничего нового мы при этом не сказали. Обнаружив основной закон, утверждающий, что сила есть масса на ускорение, а потом определив силы как произведение массы на ускорение, мы ничего нового не открываем. Можно также определить силу и на другой манер: движущееся тело, на которое сила не действует, продолжает двигаться по прямой с постоянной скоростью. Тогда, увидев, что тело не движется по прямой с постоянной скоростью, мы можем утверждать, что на него действует сила. Но такие высказывания не могут составить содержание физики: зачем же ей гонять определения по кругу? [Фейнман] (подчеркнуто мной, a_gorb)

И иногда делаются попытки дать понятие силы независимо от второго закон Ньютона.
«Теперь подвесим к пружине сразу два таких груза. Каждый из них оказывает воздействие, одинаковое не только по величине, но и по направлению. Очевидно, что в этом случае сила, действующая на пружину будет в 2 раза больше. <…> мы получили способ количественного сравнения сил: отношение величин двух сил равно отношению упругих деформаций пружины, вызываемых действием этих сил. (… удлинение пружины пропорционально действующей на нее силе. Правда, этот закон, носящий название закона Гука, справедлив только в случае не слишком больших деформаций.)» [Савельев И.В. Курс общей физики, том I. Механика, колебания и волны, молекулярная физика.]
Но такого рода рассуждения никак не могут быть определением силы вообще, т.к. отсылают к понятиям, которые сами необходимо определить через силу, и к закону (Гука), который выполняется лишь весьма приближенно. Т.е. это, разумеется, никакое не определение силы, а лишь некое образное пояснение.

Тогда остается еще вариант, когда второй закон объявляется не законом, а определением силы.
«Поскольку увеличение скорости есть действие ускоряющей причины и поскольку, по их мнению, действие всегда пропорционально своей причине, <…> они получают общую аксиому, что произведение ускоряющей силы на элемент времени равно элементу скорости. Даниил Бернулли … утверждает, что принцип этот является лишь случайной истиной, поскольку мы не знаем природы причины и способа ее действия и потому не можем знать, действительно ли действие пропорционально своей причине, или же оно пропорционально какой-нибудь степени, или вообще какой-нибудь функции от своей причины. Напротив, Эйлер в своей механике старается доказать, что данный принцип представляет собой необходимую истину.
Что касается нашего мнения по вопросу о необходимости или случайности этого принципа, то мы, не желая разбирать здесь этого вопроса, ограничимся тем, что данный принцип примем за определение ускоряющей силы: термином «ускоряющая сила» мы будем обозначать просто величину, пропорциональную приращению скорости. Так, вместо того, чтобы говорить, что приращение скорости в любое мгновение постоянно …, мы в целях краткости, а также в целях согласия с принятой терминологией, будем просто говорить, что ускоряющая сила постоянна…»[Даламбер] (подчеркнуто мной, a_gorb)
В этой цитате заслуживает внимание еще и то, что равенство ma силе F является лишь случайным, а совсем не обязательным. Разумеется, если положить равенство F=ma в качестве определения силы F, то тут не возникает такой проблемы. Второй момент. Если это только определение силы, то везде можно исключить термин «сила», заменив его термином «произведение массы на ускорение» или более точным «производная от импульса». Таким образом, термин «сила» становиться совершенно </i>излишним</i>, его использование оправдано только соображениями краткости и согласием с ранее использованной терминологией.

Определение силы через ускорение использовалось Кирхгофом, и такое определение силы используется иногда и сейчас: «Естественно поэтому для определения воздействия рассматривать производную от вектора импульса материальной точки по времени. Эта производная носит название силы, действующей на материальную точку.» [Л.Д.Ландау, А.И.Ахиезер, Е.М.Лифшиц. Курс общей физики. Механика и молекулярная физика]

Но если второй закон объявить определением силы, то, с одной стороны он будет просто верен всегда (по определению:)), но таким образом перестанет быть законом природы. Но и этого определения мало. «мы возвращаемся к определению Кирхгофа: сила равна массе, умноженной на ускорение. На этот «закон Ньютона» перестают, в свою очередь, смотреть как на экспериментальный закон, он становится только определением. Но это определение также недостаточно, потому что мы не знаем, что такое масса. Оно нам позволяет, несомненно, рассчитать отношение двух сил, приложенных к одному й тому же телу в разные моменты; но оно нам ничего не говорит об отношении двух сил, приложенных к двум различным телам.» [Пуанкаре А. Идеи Герца в механике. В кн. Герц Г. Принципы механики, изложенные в новой связи]

И так теперь надо разобраться с массой. Что такое масса надо определить независимо от того, чем считать соотношение, обозначаемое формулой F=ma, законом или всего лишь определением. Тут тоже не все просто (ранее частично об этом писал в заметке Механика. Масса). «Мне кажется, что сам Ньютон испытывал некоторое смущение, когда он с известной натяжкой определял массу как произведение объема на плотность. По-видимому, Томсон и Тэт вполне это понимали, указав, что это определение в большей степени представляет собой, собственно, определение плотности, а не массы, хотя они все же удовлетворились им как единственным определением массы. [Герц]

Разумеется, определив силу через массу и ускорение, уже некорректно определять массу через силу и ускорение, а для того, что бы законы Ньютона имели статус законов, так совсем необходимо определить массу независимо от силы. Т.е. «определения» такого типа «для количественной характеристики инертности тела применяется пропорциональная отношению [величины силы к величине сообщаемого ею ускорения] физическая величина, получившая название массы тела.» [Савельев И.В.] тут совершенно не годятся. Или еще пример: «Следует обращать внимание на число точек, составляющих тело, которое должно быть приведено в движение, и масса тела должна быть принята пропорциональной этому числу. Эти точки надо считать равными между собой но не так, что они равно малы, но так, что на них одна и та же сила производит равные действия.» [Эйлер]

Существует еще подход, когда масса вводится из других соображений, например, исходя из взаимодействия двух тел. «… по определению, отношение масс двух материальных точек равно взятому с противоположным знаком отношению приращений скоростей этих точек в результате взаимодействия между ними.» [Сивухин Д.В. Общий курс физики. T.I Механика]. Или из неких других общих посылок: «Одной из таких неизменяющихся или, как говорят, сохраняющихся величин является полный импульс системы. Он представляет собой векторную сумму импульсов каждой из материальных точек, входящих в состав замкнутой системы. Вектор же импульса материальной точки связан простым соотношением с ее скоростью: он пропорционален ей. Коэффициент пропорциональности является характерной для каждой материальной точки постоянной и называется массой материальной точки.» [Ландау, Ахиезер, Лифшиц] Но оба эти положения эквивалентны третьему закону Ньютона (о равенстве действия и противодействия), который, таким образом, из закона превращается в определение, т.е. массы определяются так, что третий закон безусловно выполняется. («нужно снова прибегнуть к третьему закону Ньютона (равенство действия противодействию), считая его опять же не экспериментальным законом, а определением.» [Пуанкаре])

Получается, что массу вне и до законов Ньютона определить также не удается. «мы оказались перед необходимостью прибегнуть к следующему определению, которое, по существу, является признанием нашего бессилия: массы представляют собой коэффициенты, которые удобно вводить в вычисления.» [Пуанкаре] Или иначе говоря: «Мы интуитивно понимаем, что такое масса» [Фейнман]

Таким образом, нет хороших определений величин, входящих в законы Ньютона, нет даже в том случае, если эти законы считать не законами, а определениями. «Прежде всего мы оказываемся перед трудностями, когда хотим дать определение основным понятиям. Что такое масса? Это, — отвечает Ньютон, — произведение объема на плотность. — Лучше было бы сказать, отвечают Томсон и Тэт, что плотность есть количество массы в единице объема. — Что такое сила? Это, — отвечает Лагранж, — причина, которая производит движение тела или которая стремится произвести движение. Это, — скажет Кирхгоф, — произведение массы на ускорение. Но тогда почему не сказать, что масса есть количество силы, рассчитанной на единицу ускорения? Эти затруднения непреодолимы.» [Пуанкаре]



В результате мы получаем, что второй закон Ньютона связывает три величины, про две из которых толком неизвестно, что это такое! Т.е. тут совершенно формально логически нельзя понять, о чем вообще идет речь. Две разные по своей природе величины: производная от импульса и сила объявляются тождественными, вплоть до того, что одно является лишь сокращенным наименованием другого. Но в тоже время сила определяется через массу, а масса – через силу. Такие вот своеобразные законы получаются:) Эту проблему при преподавании механики часто затушевывают, а понятие силы и массы даются на множестве примеров решения различных задач, так что вместо логики тут формируется привычка.


Но, что же, в законах Ньютона и в во втором законе нет никакого содержания. Есть, конечно же есть. Основное содержание, которое сохраняется при всех формулировках законов механики заключается в том, что «задания начального положения и начальной скорости частицы действительно достаточно для полного определения ее дальнейшего движения.» [Ландау, Ахиезер, Лифшиц], «задание всех координат и скоростей полностью определяет, как показывает опыт, состояние системы и позволяет в принципе предсказать дальнейшее ее движение.» [Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Т. I. Механика.] Т.е. наиболее существенным во втором законе Ньютона является не то, что в него входит сила и масса, а то, что в него входит ускорение (вторая производная от координат по времени), а не скорость (первая производная) или производные более высоких порядков. Это как раз и является математическим выражением того факта, что для описания движения механической системы необходимо и достаточно задать начальные координаты и скорости. Собственно это и является тем обобщением опытных фактов, которое никак не может быть получено путем одних только рассуждений.

Вторым важным содержательным моментом является утверждение, что скорость тела может измениться лишь под влиянием внешних воздействий, при взаимодействии с другими телами. И это нас подводит к следующему вопросу: а когда применимы законы Ньютона. Но об этом в следующей части, здесь и так много получилось.

Продолжение следует….
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic
    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 29 comments