?

Log in

No account? Create an account

Кошка Шредингера 2 - a_gorb — LiveJournal

Apr. 19th, 2012

10:44 pm - Кошка Шредингера 2

Previous Entry Share Flag Next Entry

Продолжение. часть 1

Upd. 23.04 Благодаря конструктивному обсуждению внес изменения.

Так почему же согласно КМ (квантовой механике) нельзя утверждать, что кот либо жив, либо мертв, но мы просто об этом не знаем, а узнаем, только открыв крышку, т.е. произведя наблюдение?

Рассмотрим чем отличаются вероятности в КМ от классических. Рассмотрим часто используемый пример дифракции частиц на двух щелях. Для начала возьмем классический аналог, в качестве которого будем использовать Доску Гальтона (доска, в которую в шахматном порядке вбиты штырьки, шарик, скатываясь по доске, ударяется о штырьки и его траектория становиться случайной).На этой доске вполне возможно поставить экран (в нем шарики застревают) с двумя щелями и за ним приемное устройство для шариков. Можно рассчитать и определить в эксперименте вероятности того, что шарик пройдет через первую щель (P01), через вторую щель (P02), шарик выйдя из первой щели попадет в приемник (P13), выйдя из второй попадет в приемник (P23). Также можно найти и экспериментально определить полную вероятность того, что шарик попадет в приемник P03=P01*P13 +P02*P23, и вероятности что шарик попадет в приемник через первую щель P013=P01*P13, или через вторую щель P023=P02*P23. Для экспериментального определения последних двух вероятностей нужно закрыть одну из щелей.

Однако дифракция квантовой частиц(ы) происходит не совсем так. В КМ фундаментальную роль играют комплексные! амплитуды вероятностей. Причем вероятности выражаются через амплитуды, а вот амплитуды через вероятности выразить несколько проблематично. Собственно КМ предписывает правила обращения с амплитудами, а не с вероятностями. А то бы ее пришлось считать разделом статистической физики:) Поэтому, с точки зрения КМ не совсем грамотно говорить «кот на 50% жив и на 50% мертв» (как было сказано в предыдущей части). Правильно сказать, что квадраты модулей амплитуд вероятностей, что кот жив и что мертв, составляют по 0,5.

Рассмотренные выше классические соотношения для вероятностей в случаи КМ будут выглядеть несколько сложнее:

Если мы знаем только вероятности P013 и P023, то этого недостаточно, что бы найти полную вероятность P03. В частности, при дифракции квантовой частицы могут быть такие положения соответствующего приемника, при которых вероятность попадания в него частицы P03 слабо отличается от нуля, тогда как вероятности P013 и P023 заметно отличны от нуля.

Этот эффект тесно связан с другим названием КМ – волновая механика. Ведь тут происходит типично волновой эффект – интерференция. Амплитуды способны интерферировать подобно классическим волнам. (Отмечу, что комплексные числа крайне удобны для описания любых волновых процессов.) Вероятности же интерферировать не умеют:)

Таким образом, одними вероятностями КМ система не описывается, для ее описания необходимо указать комплексные амплитуды, а вот через них уже можно найти вероятности.

Еще несколько слов о природе вероятности в КМ. Возьмем частицу со спином 1/2. Такая частица пропущенная через прибор Штерна-Герлаха может отклониться в одну сторону, и тогда у нее спин (проекция на соответствующую ось) +1/2, или в противоположную, и тогда спин -1/2 (возможны только два таких исхода). Возьмем поток (ансамбль) таких частиц, пусть в результате опыта выяснено, что после прохождения через прибор Штерна-Герлаха (ПШГ) половина частиц отклонилась вниз, а половина вверх. (Интересно отметить, что если на пути частиц, отклонившихся вверх, поставит еще один ПШГ, то все частицы в нем опять отклонятся вверх..) Тут сразу возникает идея, что изначально половина частиц имела спин +1/2, а половина -1/2, ПШГ просто разделил эти частицы.

Рассмотрим волновую функцию (ВФ), которая описывает состояние частиц пучка до прохождения ПШГ, причем такую, что после прохождения ПШГ произойдет деление пучка пополам, т.е. вероятности иметь спин +1/2 и -1/2 вдоль оси Z равны (отметим, что это не единственная ВФ, обладающая таким свойством):
(1)
Интересно отметить, что при таком выборе амплитуд эта функция описывает такое состояние частиц, когда они имеют 100% вероятность иметь спин +1/2 вдоль оси X:

И измерения с ПШГ с другой ориентацией (вдоль X) покажут, что все частицы отклонятся в + направлении. Предположим, что половина частиц изначально имела спин +1/2 в Z направлении, тогда у них была следующая ВФ:

А вторая половина изначально имела спин -1/2:

Пошлем эти частицы через ПШГ с ориентацией в X направлении, т.е. сделаем следующее. Сначала с помощью ПШГ ориентированного в Z направлении выделим две группы частиц с ВФ ψ-z и ψ+z. Будем в случайном порядке выбирать частицы из этих групп (причем случайность тут будет чисто классической, выбор можно осуществлять, например, подбрасывая монету). Таким образом, сформируем пучок частиц. Этот пучок частиц обладает тем свойством, что если его послать на ПШГ ориентированный в Z направлении, то он поделиться примерно пополам. Причем в этом случае изначально половина частиц имела спин +1/2, а половина -1/2 в Z направлении. Направим этот пучок частиц в ПШГ ориентированный в X направлении. Тогда и в первой группе и во второй группе частиц половина частиц пойдут в (+) направлении, а половина в (–) направлении.

Рассмотри другую ситуацию (другой эксперимент), пусть частицы пучка изначально описываются ВФ (1), в этом случае все частицы будут иметь спин +1/2 в Х направлении. И опять при использовании ПШГ в Z направлении пучок поделиться примерно пополам. Однако при использовании ПГШ в X направлении все частицы отклонятся в одну сторону. Этот результат не совпадает с тем, который наблюдался в предыдущем случае, когда спин в Z направлении был задан изначально. Но это означает, что никакой изначальной ориентации спина вдоль Z такие частицы не имели.


Таким образом, с точки зрения КМ, вообще говоря, нельзя сказать, что до открытия ящика кот изначально уже был либо жив, либо мертв, только мы просто еще не провели измерения.

Продолжение следует…

Comments:

[User Picture]
From:kaktus77
Date:April 20th, 2012 05:35 am (UTC)
(Link)
== Рассмотрим волновую функцию (ВФ), которая описывает деление пучка пополам, т.е. вероятности иметь спин +1/2 и -1/2 вдоль оси Z равны:

Это не совсем корректное утверждение. Зависит о того, был ли "приготовлен" (т.е. уже поделен по оси x) пучок до деления. Если нет, то такой волновой функции, как Вы написали, тоже нет - до деления нет никакой ВФ, а после деления их две, и складывать (объединять) их нельзя.

== Интересно отметить, что при таком выборе амплитуд эта функция описывает такое состояние частиц, когда они имеют 100% вероятность иметь спин +1/2 вдоль оси X:

Поскольку (если) они имели такое состояние (|x+>) до деления пучка. Или, иначе говоря, поскольку деление пучка не меняет его состояния.

== Тогда и в первой группе и во второй группе частиц половина частиц пойдут в + направлении, а половина в – направлении. Такая ситуация в принципе возможна. Но возможна и ситуация, описываемая ВФ (1),

Здесь непонятно, о чем Вы говорите. Будет либо первое (половина на половину), либо второе (ВФ1), в зависимости от того, что именно Вы будете делать.

Edited at 2012-04-20 10:33 am (UTC)
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:a_gorb
Date:April 20th, 2012 03:51 pm (UTC)
(Link)
В основном с замечаниями согласен.

Поскольку пишу больше для себя, то мне то более менее понятно, что имеется в виду. Однако, для большей адекватности текста можно внести изменения. Предлагаю следующее:

”Это не совсем корректное утверждение.”
Предлагаю следующую редакцию:
«Рассмотрим волновую функцию (ВФ), которая описывает состояние частиц пучка до прохождения ПШГ, причем такую, что после прохождения ПШГ произойдет деление пучка пополам, т.е. вероятности иметь спин +1/2 и -1/2 вдоль оси Z равны (отметим, что это не единственная ВФ, обладающая таким свойством):»

”Поскольку (если) они имели такое состояние (|x+>) до деления пучка.”
В предыдущем предложении вставил оговорку, что это ВФ до прохождения ПШГ.

”Здесь непонятно, о чем Вы говорите. Будет либо первое (половина на половину), либо второе (ВФ1), в зависимости от того, что именно Вы будете делать.”
Не совсем понял, что именно непонятно, но попробую. Предлагаю такую редакцию этого абзаца: «Пошлем эти частицы через ПШГ с ориентацией в X направлении, т.е. сделаем следующее. Сначала с помощью ПШГ ориентированного в Z направлении выделим две группы частиц с ВФ ψ-z и ψ+z. Будем в случайном порядке (причем случайность тут будет чисто классической, выбор можно осуществлять, например, подбрасывая монету) направлять эти частицы в ПШГ ориентированный в X направлении. Тогда и в первой группе и во второй группе частиц половина частиц пойдут в (+) направлении, а половина в (–) направлении. Но возможна и ситуация, описываемая ВФ (1), в этом случае все частицы будут иметь спин +1/2 в Х направлении. Но это означает, что никакой изначальной ориентации спина вдоль Z такие частицы не имели.»
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:kaktus77
Date:April 20th, 2012 04:08 pm (UTC)
(Link)
Вот это непонятно - "Но возможна и ситуация, описываемая ВФ (1), в этом случае все частицы будут иметь спин +1/2 в Х направлении"

Где возможна? Если мы отфильтровали ψ-z (или ψ+z, не имеет значения), всегда половина этого отфильтрованного суб-пучка пойдет в х+, а половина в х- (в среднем, конечно). Поэтому непонятно, к чему относится эта вот "возможность", если к суб-пучку, то это как раз невозможно :)

Наверное, Вы имеете в виду, что сначала все были х+, а вот после деления по Z, а потом снова по Х половина x+ почему-то "превратилась" в х-.
Это вот я сейчас так понял, с третьего раза, а по тексту трудно понять :)
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:a_gorb
Date:April 20th, 2012 06:43 pm (UTC)
(Link)
”Это вот я сейчас так понял, с третьего раза, а по тексту трудно понять :)”
Хреновато я видать пишу:( Попробую еще раз.
И так, новая редакция этого абзаца (а заодно разобью на два):
«Пошлем эти частицы через ПШГ с ориентацией в X направлении, т.е. сделаем следующее. Сначала с помощью ПШГ ориентированного в Z направлении выделим две группы частиц с ВФ ψ-z и ψ+z. Будем в случайном порядке выбирать частицы из этих групп (причем случайность тут будет чисто классической, выбор можно осуществлять, например, подбрасывая монету). Таким образом, сформируем пучок частиц. Этот пучок частиц обладает тем свойством, что если его послать на ПШГ ориентированный в Z направлении, то он поделиться примерно пополам. Причем в этом случае изначально половина частиц имела спин +1/2, а половина -1/2 в Z направлении. Направим этот пучок частиц в ПШГ ориентированный в X направлении. Тогда и в первой группе и во второй группе частиц половина частиц пойдут в (+) направлении, а половина в (–) направлении.

Рассмотри другую ситуацию (другой эксперимент), пусть частицы пучка изначально описываются ВФ (1), в этом случае все частицы будут иметь спин +1/2 в Х направлении. И опять при использовании ПШГ в Z направлении пучок поделиться примерно пополам. Однако при использовании ПГШ в X направлении все частицы отклонятся в одну сторону. Этот результат не совпадает с тем, который наблюдался в предыдущем случае, когда спин в Z направлении был задан изначально. Но это означает, что никакой изначальной ориентации спина вдоль Z такие частицы не имели.»
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:kaktus77
Date:April 21st, 2012 05:12 am (UTC)
(Link)
Не, тогда непонятно вот здесь - "Однако при использовании ПГШ в X направлении все частицы отклонятся в одну сторону." Вы же сначала поделили по Z, следовательно у Вас тут два (суб)пучка. Если теперь делить по Х, то это будет ровно тот же первый случай - х+ и х- в равных пропорциях.

Чтобы "при использовании ПГШ в X направлении все частицы отклонялись в одну сторону" надо снова собрать z+ и z- в один пучок. Правда, непонятно тогда зачем его надо было делить по Z направлению.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:a_gorb
Date:April 21st, 2012 07:38 pm (UTC)
(Link)
”Вы же сначала поделили по Z, следовательно у Вас тут два (суб)пучка.”
Не, ничего не делил по Z. Просто взял пучок с электронами, ВФ которых имеет вид (1). Как это сделали (приготовили), другой вопрос:)

”надо снова собрать z+ и z- в один пучок”
Угу. Вопрос в том как собрать.:)
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:kaktus77
Date:April 22nd, 2012 06:05 am (UTC)
(Link)
== Не, ничего не делил по Z.

Тогда пардону, неправильно понял.
Т.е. "опять" (и опять при использовании ПШГ в Z направлении пучок поделиться примерно пополам) - не подразумевало исполнения деления, а только говорило о том, что было бы, если бы вот так поделили.

Тогда, конечно :)
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:kaktus77
Date:April 21st, 2012 05:34 am (UTC)
(Link)
Да, забыл сказать главное:

"Таким образом, с точки зрения КМ, вообще говоря, нельзя сказать, что до открытия ящика кот изначально уже был либо жив, либо мертв, только мы просто еще не провели измерения."

Вот этот тезис никак не следует из проведенного выше рассуждения. Ведь там шла речь только о приготовленном состоянии, т.е. о частице в чистом состоянии.
А котов готовить мы не умеем :)
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:a_gorb
Date:April 21st, 2012 07:39 pm (UTC)
(Link)
”Вот этот тезис никак не следует из проведенного выше рассуждения.”
Да, не следует. Об этом напишу позже.
(Reply) (Parent) (Thread)