?

Log in

No account? Create an account

Случайность VI. Случайность, рождающая закономерность (3. Энтропия I) - a_gorb — LiveJournal

Sep. 26th, 2011

07:58 pm - Случайность VI. Случайность, рождающая закономерность (3. Энтропия I)

Previous Entry Share Flag Next Entry

Продолжение
VI. Случайность, рождающая закономерность (1)
VI. Случайность, рождающая закономерность (2)
Со школы многие помнят, что теплота, тепловая энергия есть хаотическое движение молекул вещества. Каждый более-менее представляет, что тела бывают горячее иди холоднее, т.е. существует параметр, называемый температура, который характеризует тепловую энергию. Однако, всякое ли движение молекул можно охарактеризовать, как тепловое?


Возьмем вот такое движение молекул (стрелка указывает направление движения, а ее длина пропорциональна скорости):

При таком движении молекулы обладают энергией, однако такое движение является упорядоченным и не может быть охарактеризовано как тепловое. Его можно назвать пучком частиц (молекул).

А вот примерно так выглядит тепловое движение:

Молекулы движутся с разными скоростями, в разных направлениях, т.е. хаотично.

А что же такое ветер и подобное движение воздуха? Движение молекул в потоке воздуха выглядит так:

Найдите восемь отличий от предыдущего рисунка. Нашли? Ага, направления и величины скоростей чуть-чуть изменились, сдвинулись вправо. Т.е. скорость ветра (дозвуковая), как правило, заметно меньше средней скорости хаотического, т.е. теплового, движения молекул. В ветре молекулы движутся во всех направлениях, и только в среднем возникает направленное движение.

Но что значит в данном контексте хаотичное движение. Тепловое движение это такое движение, которое соответствует максимальному хаосу. А что такое максимальный хаос. А это наиболее вероятное движение, при котором энтропия максимальна. Я думаю, что опять непонятно:) Но хаотичность движения по скоростям объяснить без привлечения математики довольно сложно.

Поэтому рассмотрим вместо скоростей положение молекул (частиц). Рассмотрим частицу в ящике, пусть она движется хаотично, т.е. ее траектория плохо предсказуема:


Теперь рассмотрим две такие частицы. И мысленно разделим ящик на две половины. Случайно взглянув в ящик, шансы найти каждую частицу как в правой, так и в левой части одинаковы. Возможны четыре ситуации:


В двух из них по одной частице расположено справа и слева, а в двух - обе частицы собрались либо справа, либо слева. Случайно взглянув в ящик, существует два шанса из четырех, что частицы распложены равномерно (одна справа, одна слева) и по одному шансу из четырех, что частицы соберутся только справа, либо только слева. Что шансы (вероятность, говоря более научным языком) таковы, легко убедится бросая две монетки. Пусть каждой частице соответствует одна монета. Тогда выпадение орла пусть будет означать, что частица слева, а решки – справа. Возможны следующие исходы бросаний:
1) О О
2) О Р
3) Р О
4) Р Р

Дальше будем рассуждать на монетах. Возьмем четыре монеты (частицы). Возможно 16 различных комбинаций при их бросании:
1) О О О О
2) О О О Р
3) О О Р О
4) О Р О О
5) Р О О О
6) О О Р Р
7) О Р Р О
8) Р Р О О
9) О Р О Р
10) Р О Р О
11) Р О О Р

12) Р Р Р О
13) Р Р О Р
14) Р О Р Р
15) О Р Р Р
16) Р Р Р Р
Отметим, что существует только по одному варианту, когда все частицы соберутся справа, либо слева (события 1 и 16). 6 вариантов, когда будет поровну частиц слева и справа (события 6 – 11). И 8 вариантов, когда частицы поделятся между правом и левом не поровну (события 2-5 и 12-15).

Состояния частиц, характеризуемое описаниями «частицы между половинами поделились поровну», «частицы между половинами поделились примерно поровну», «все частицы находятся слева» называются макросостоянием системы. Комбинации частиц, которые описывают положения каждой частицы, называются микросостояниями. В данном случае их всего 16. Макросостоянию «частицы между половинами поделились примерно поровну» соответствует 14 микросостояний. Макросостоянию «частицы между половинами поделились поровну» соответствует 6 микросостояний. Макросостоянию «все частицы находятся слева» соответствует одно микросостояние.

Ясно, что чем больше частиц, то тем меньше шансов обнаружить их все в одной половине ящика. Как раз, шансы того, что частицы между половинами поделились примерно поровну, будут возрастать. Тела, которые мы называем макроскопическими, состоят из невообразимо большого числа частиц. Такие тела будут находиться в таком макросостоянии, которое имеет наибольшее число микросостояний. Наоборот, макросостояния, которые реализуются с помощью небольшого числа микросостояний, обнаружить будет практически невероятно.

Таким образом, если частицы движутся хаотически, случайно, а число таких частиц огромно, то частицы будут находится в наиболее часто встречающихся микросостояниях. В самом деле, возьмите 1000 монет и подбросьте. Скорее всего, примерно половина монет упадет орлом. И я буду крайне удивлен, если все монету упадут орлом, если конечно выпадение орла или решки событие случайное. Таким образом, макроскопические тела будут существовать в таких макросостояниях, которые реализуются максимальным количеством микросостояний, т.е. в тех состояниях, которые являются наиболее вероятными. В самом деле, если взглянуть в ящик, в котором носится огромное количество частиц, то можно обнаружить, что примерно половина частиц находится справа, а оставшиеся слева. Т.е., хотя мы и не можем предсказать, где будет находиться определенная частица, но можем предсказать некую среднюю характеристику. Причем, поведение частиц, оставаясь хаотичным, случайным, рождает новую закономерность: а именно, что частицы между половинами ящика поделены примерно поровну. Такое состояние часто называют максимально хаотическим, максимально неупорядоченным, хотя правильнее называть наиболее вероятным.

Вернемся к тепловому движению. Для скоростей частиц макросостоянием является полная энергия частиц. Данная полная энергия может быть реализована и микросостоянием, когда частицы движутся упорядоченно, как на первом рисунке. Однако, микросостояния, которые являются наиболее вероятными, соответствуют хаотичному движению частиц, как показано на втором рисунке. Причем относительное число частиц имеющих данную величину скорости в данном направлении задается формулой, известной под именем распределение Максвелла.

Как мы видели, число микросостояний возрастает быстрее, чем число частиц. Для реальных макро тел оно огромно. С такими числами не совсем удобно работать. По этой причине и по еще некоторым, обсуждать которые здесь лишне, вместо числа микросостояний используют его натуральный логарифм. Короче говоря, натуральный логарифм числа микросостояний, которыми реализуется данное макросостояние называется энтропия

Продолжения следует…

ЗЫ. Исправления, замечания вопросы, как обычно, с благодарностью принимаются.

ЗЫЫ. Только сам не понимаю, по кой я это все пишу…

Comments:

[User Picture]
From:dibr
Date:September 26th, 2011 04:12 pm (UTC)
(Link)
> Найдите восемь отличий от предыдущего рисунка. Нашли? Ага, направления и величины скоростей чуть-чуть изменились, сдвинулись вправо

Так вот какая она, теория относительности! Потому что если верить фотошопу, как измерительному инструменту (и исходнику страницы, как абсолютному критерию истины) - это не просто две одинаковых картинки, это одна и та же картинка! Что находится в полном соответствии с уже упомянутой теорией относительности: относительно ветра-то ничего не изменилось :-)
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:a_gorb
Date:September 26th, 2011 04:14 pm (UTC)
(Link)
Спасибоньки. Пошел исправлять.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:a_gorb
Date:September 26th, 2011 04:16 pm (UTC)
(Link)
Исправил.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:antonrai
Date:September 30th, 2011 02:25 pm (UTC)
(Link)
"Причем, поведение частиц, оставаясь хаотичным, случайным, рождает новую закономерность: а именно, что частицы между половинами ящика поделены примерно поровну. Такое состояние часто называют максимально хаотическим, максимально неупорядоченным, хотя правильнее называть наиболее вероятным".

Любопытно получается. Предсказуемость как следствие все большей и большей видимой непредсказуемости. Но вот я подумал: если подбросить одну монетку тысячу раз или тысячу монеток один раз, вероятность "поровну" результата должна быть вроде как совершеннно одинакова? Не это ли именно и иллюстрирует даная закономерность?
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:a_gorb
Date:September 30th, 2011 03:01 pm (UTC)
(Link)
”Любопытно получается. Предсказуемость как следствие все большей и большей видимой непредсказуемости.”
Именно так. Чем больше частиц, тем становится труднее предсказать судьбу отдельной частицы, но тем легче и точнее выполняются средние характеристики. Хороший пример дает нам цифровая фотокамера. При уменьшении освещенности на камерах с маленькой матрицей ПЗС (мыльницы) хорошо видны шумы. Это как раз связано частично с тем, что мало фотонов попадает на каждый элемент матрицы ПЗС, поэтому число фотонов от элемента к элементу меняется несколько хаотично. А если фотонов много, то в и разброс числа фотонов на соседних элементах мал и шумы не видны. У зеркалок матрица больше и размер ее элемента больше, поэтому зеркалки дают более качественное изображение особенно в условиях плохой освещенности.

”Но вот я подумал: если подбросить одну монетку тысячу раз или тысячу монеток один раз, вероятность "поровну" результата должна быть вроде как совершеннно одинакова?”
Да с монеткой так и будет. Среднее по времени (одну тысячу раз) совпадет со среднем по ансамблю (тысяча монеток один раз). Такое свойство называется эргодичностью.
Так же будет и с частицами в ящике. Насколько она (эргодичность) тут принципиальна – я не могу так сходу ответить:(
А данная закономерность иллюстрирует просто то, что чем больше событий или частиц тем точнее определяются усредненные характеристики, которые при очень большом числе частиц приобретают характер четких законов. Кстати, тот же закон Архимеда связан с давлением, а оно есть просто сумма ударов множества частиц. Таким образом, закон Архимеда имеет статистический характер! Однако, число частиц столь велико, что это закон обычно считается не статистическим, а вполне детерминированным.

Но есть и противоположный пример. Если взять очень маленькую частицу и поместить в жидкость, то она не будет просто тонуть или всплывать в соответствии с законом Архимеда, а будет хаотично двигаться. Это явление называется Броуновское движение. Связано оно с тем, что число молекул которые стучат по частице становиться не слишком большим, в результате то с одной стороны, то с другой частице достается больше ударов и она скачет из стороны в сторону. В общем, все аналогично шумам ПЗС матрицы:)
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:antonrai
Date:September 30th, 2011 04:06 pm (UTC)
(Link)
"А данная закономерность иллюстрирует просто то, что чем больше событий или частиц тем точнее определяются усредненные характеристики, которые при очень большом числе частиц приобретают характер четких законов".

Это я понял, но вот почему я сделал акцент на, как оказывается, эргодичности:) Ведь в данном конкретном примере получилось "поровну" и монетка и должна падать примерно поровну: то есть те же самые 50 на 50. Вот и получается, что это деление поровну большого числа частиц (монеток) воспроизводит изначальную вероятность, что одна частица долджна оказаться либо там, либо там, или что монетка должна упасть либо орел либо решка. как-то именно этот момент зацепил внимание.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:a_gorb
Date:September 30th, 2011 04:40 pm (UTC)
(Link)
”Вот и получается, что это деление поровну большого числа частиц (монеток) воспроизводит изначальную вероятность, что одна частица долджна оказаться либо там, либо там, или что монетка должна упасть либо орел либо решка.”
Да, вы это верно подметили. Но это простейший случай. Как обычно, самом деле все гораздо интереснее. Если взять распределение по скоростям при тепловом движении (вместо распределения по половинам ящика), то там тоже можно долго наблюдать за скоростью отдельной частицы или за скоростями большого количества частиц и получить по существу одно и тоже (т.е. одинаковые вероятности иметь ту или иную скорость). Однако, формирование случайности тут происходит более замысловатым способом, объяснение которого математически не просто.
(Reply) (Parent) (Thread)