?

Log in

No account? Create an account

Логика апорий Зенона - a_gorb — LiveJournal

Sep. 4th, 2011

11:04 pm - Логика апорий Зенона

Previous Entry Share Flag Next Entry

(Написано и размещено в сообществе dia_logic. Комментировать лучше там, хотя можно и тут.)


В связи с вопросом о том бывает ли так, что аксиомы выполняются, а формально логический (ФЛ) вывод из них – нет, мне было предложено обратить внимание на апории Зенона. Тема это, конечно, избитая, однако решил к ней вернуться и вынести в отдельный пост. Для данного сообщества тема может быть интересна, т.к. с этими апориями нередко связывают диалектику. Спору нет, эти апории оказали (и продолжают оказывать) важное влияние на развитие человеческой мысли на протяжении длительного времени. Однако, хотелось бы рассмотреть апории с точки зрения логических правил получения выводов.


Рассмотрим одну из самых известных, посвященных бегу Ахиллеса:
«Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.»
Сначала попытаемся установить исходные посылки, которые используются в этом рассуждении.
Первой посылкой (аксиомой) является та, что пройденный путь S, скорость V и время движения T связаны формулой S=V*T.
Интересно отметить, что для решения задачи о том, за какое время Ахиллес догонит черепаху, никакие другие посылки НЕ нужны! Они просто являются лишними. Однако у Зенона есть еще одна аксиома. Бесконечное число этапов (шагов, событий, положений) требует бесконечного времени. Это именно аксиома, т.к. это положение из других никак не выводится. Собственно говоря, вся апория демонстрирует только одно, что эти две аксиомы противоречат друг другу.
Но если первая аксиома вполне поддается проверке на опыте (т.е. можно убедиться, что для рассматриваемого объекта она выполняется), то вторую аксиому проверить несколько сложнее, если вообще возможно. Но если ее заменить на противоположную: сколь угодно большое число этапов (шагов, событий, положений) может требовать конечного времени, то никакого парадокса не возникает. Эта противоположная аксиома сама по себе логически ничем не хуже, чем исходная.

Таким образом, парадокс возникает только из-за того, что к уже и так полной системе аксиом добавляется еще одна. Добавка еще одной аксиомы, которая говорит о том же самом, есть либо полная тавтология, либо приведет к противоречию. Так можно «насоздавать» массу парадоксов. Например, возьмем геометрию Эвклида и с ее постулатом о параллельных (к прямой через точку вне ее можно провести одну и только одну параллельную прямую) и дополним постулатом, что сумма углов треугольника меньше двух прямых. Начнем из этого строить выводы и очень скоро получим противоречие. Но стоит исключить один из этих постулатов, как получится геометрия Эвклида или Лобачевского, а противоречие исчезнет.

UPD. Под влиянием этого комментария внесу небольшое уточнение.

Греки уравнения не писали, а составляли пропорции. Поэтому первую из аксиом можно заменить на следующую: Проходимые за одинаковый отрезок (интервал) времени пути относятся также как и скорости: S1/S2=V1/V2 (в современных обозначениях) или время необходимое для прохождения одного и того же пути обратно пропорционально скорости: T1/T2=V2/V1. Это греки знали. Правда эти аксиомы эквивалентны формуле: S=V*T. Но этого греки похоже не знали или явно не формулировали [Григорьян А.Т. Механика от античности до наших. 1974], хотя у Аристотеля в «Физике» есть нечто ее напоминающее, но выраженное словами. Однако и аксиома в данной формулировки позволяет решить задачу, по крайней мере найти точку, в которой Ахиллес догонит черепаху.
Однако это не слишком влияет на приведенные рассуждения, т.к. причина парадокса в другом. Да и рассматриваю я эту апорию не с точки зрения древних, а с современной. И интересует меня в ней не история, а логика.

Comments: