?

Log in

No account? Create an account

Случайность II - a_gorb

Jul. 18th, 2011

03:51 pm - Случайность II

Previous Entry Share Next Entry

Продолжение.
Часть 1. Случайность. Случайность в квантовой механике

Хорошо. Пусть в квантовой механике (КМ) существует настоящая, объективная случайность, несводимая к нашему незнанию. Но в нашей, обычной человеческой жизни квантовые эффекты практически никак не проявляются непосредственно. В нашем мире эффекты квантовой случайности либо настолько малы, что не поддаются измерению даже самыми точными приборами, либо усредняются, так что мы имеем дело с неким закономерным средним. (КМ не может предсказать момент радиоактивного распада какого-либо единичного атома, однако вполне можно говорить о времени распада радиоактивного вещества, состоящего из огромного количества атомов. Последнее будет уже не случайным, а вполне предсказуемым.) Поэтому оставим временно КМ с ее эффектами в лабораториях физиков и посмотрим, что изменилось в понимании случайности в рамках классических представлений. Речь пойдет о динамическом хаосе. Рассматриваемые здесь идеи возникли еще в XIX веке и но не получили большого развития, которое началось в 60-70гг. XX века.

О чем идет речь. Если случайность есть другое обозначение для нашего незнания, то в этом случае наше незнание все-таки понимается как в каком-то смысле объективное. Т.е. это незнание вызвано не тем, что мы просто не хотим знать причины, а тем, что не можем их установить. Такая невозможность обычно связывается с тем, что событие происходит в результате действия огромного количества факторов, не подающихся учету на практике. Например, для описания движения молекул газа потребовалось бы измерить а затем и рассчитать положения и скорости огромного количества молекул, что с хорошим запасом превышает возможности современной экспериментальной и вычислительной техники. Поэтому движение молекул описывается в рамках статистических закономерностей. В случае динамического хаоса возникает иная ситуация. Случайное (хаотическое) поведение демонстрируют очень простые и строго детерминированные системы, параметры которых определить не слишком сложно.

Рассмотрим следующий пример. (Математика тут очень несложная, поэтому позволю математический пример.) Рассмотрим модель численности популяции. Буквой n обозначим номер поколения, X[n] – численность популяции в n-ом поколении, X[n+1] – численность популяции в n+1 поколении. Пусть популяция находится в крайне благоприятных условиях и ее увеличению ничто не препятствует. Буквой R обозначим коэффициент прироста, т.е. прирост особей популяции, приходящийся на одну особь. Т.е. X[n+1]=X[n](1+R), например, если R=1.7, и численность популяции составляла 100 особей, то в следующем поколении будет 270 особей. Эта формула описывает неограниченный рост числа особей популяции. Понятно, что доступные ресурсы ограничены, и такой рост не может продолжаться вечно. Если численность популяции достигнет некого значения Xm, то рост ее численности прекратиться. Если численность популяции в каком то поколении превысит это значение, то в результате нехватки ресурсов численность популяции в следующем поколении сократиться. Поэтому параметр R сам должен зависеть от численности популяции. Запишем его в следующем виде R=r*(1-X[n]/Xm). Данное выражение обладает указанными выше свойствами: При X[n]Xm численность начнет сокращаться.

Тогда получаем следующую формулу для связи численности популяции в двух поколениях: X[n+1]=X[n](1+ r*(1-X[n]/Xm)). Как это принято в математике, упростим это выражение, разделив обе его части на Xm и введем обозначение x[n]=X[n]/Xm – нормированная численность популяции. Тогда получим: x[n+1]=x[n](1+ r*(1-x[n])). Как мы видим, эта очень простая формула с одним параметром, которая жестко детерминировано связывает численность популяции в различных поколениях. Описываемая этой формулой динамика носит название Динамика Ферхюльста.

Рассмотрим численные примеры. Пусть r=1.5. Красным обозначена динамика численности при начальном значении численности равном 0.1, а синим - при немного другом начальном значении 0.12. По горизонтали отложен номер поколения, по вертикали – нормированная численность популяции в этом поколении Численность популяции за несколько поколений выходит на постоянное значение и на нем и остается.



Такую динамику сложно охарактеризовать как случайную. Отклонение в начальных условиях как раз численно характеризует уровень нашего незнания в данной модели. Небольшое незнание приводит к небольшому же отклонению в результате. Эта ситуация является интуитивно привычной. Действительно, если мы бросим камень чуть сильнее, то он пролетит чуть дальше. Да всякий приведет массу примеров из жизни, которые укладываются в это правило.

Но посмотрим, что будет, если взять другое значение параметра r=3.



Красной и синей линиями нарисованы зависимости при тех же самых начальных значениях, что и на предыдущей картинке. Что сразу бросается в глаза: такую динамику численности популяции как раз можно охарактеризовать термином хаотичная. Но этого мало, если сравнить красную и синюю линии, то видно, что они сильно расходятся через 5 поколений. Давайте улучшим уровень нашего знания (уменьшим незнание), пусть начальное значение численности вместо 0.1 будет 0.101. Т.е. ошибка составит всего 1%. Этот случай изображен черной линией. Как видим, через десяток поколений черная линия также расходится с красной.

Что же тут получается. Мы можем сильно уменьшить уровень нашего незнания, однако, это почти не дает нам никаких преимуществ в предсказании результата. При этом система остается строго детерминированной и весьма простой. Вот такое явления, когда даже малые ошибка (малый уровень нашего незнания) в простых, детерминированных системах рано или поздно приводит к тому, что динамика становиться непредсказуемой, и получило название динамического хаоса. Проведенные в последнее время исследования в этой области показали, что явление динамического хаоса является не таким-то уж редким.

Таким образом, в случае динамического хаоса случайность также приобретает объективные черты. Тут при любом уровне незнания, начиная с какого-то момента, события становятся непредсказуемыми, т.е. случайными. Даже в том случае, если поведение является строго детерминированным! Избежать этого можно, только имея абсолютное знание.

Продолжение (окончание?) следует. Замечания, уточнения, поправки и конечно вопросы с благодарностью и интересом принимаются.

Comments:

[User Picture]
From:v_i_n
Date:July 18th, 2011 01:04 pm (UTC)
(Link)
Не успеваю переварить начало, так, нет: спешу со своими комментариями в продолжение. :)

*Если случайность есть другое обозначение для нашего незнания...*
Ваш тёзка, полагаю, говорил не о непознаваемом, а о непознаном пока нами, ещё не ставшим нашим, знании.
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:a_gorb
Date:July 18th, 2011 01:47 pm (UTC)
(Link)
”Ваш тёзка, полагаю, говорил не о непознаваемом, а о непознаном пока нами, ещё не ставшим нашим, знании.”
Согласен. Здесь, как я надеюсь будет понятно по прочтении, тоже речь так же идет не о непознаваемом в принципе, а о пока не познанном, точнее недостаточно познанном.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:v_i_n
Date:July 18th, 2011 01:53 pm (UTC)

здесь...

(Link)
Это понятно и при беглом прочтении.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:antonrai
Date:July 20th, 2011 12:23 pm (UTC)
(Link)
Очень интересно! Но вот что еще (как мне кажется) интересно: если взять отдельную особь в рамках строго детерминированной схемы роста популяции, то мы ведь все равно не сможем предсказать ее будущее? Полагаю, что даже в рамках строго-детерменированной схемы можно найти ряд лазеек для случайностей, помимо того и сама эта детерминированность почти всегда под вопросом (из-за нехватки знания).
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:a_gorb
Date:July 20th, 2011 01:34 pm (UTC)
(Link)
”Очень интересно!”
Спасибо!

”если взять отдельную особь в рамках строго детерминированной схемы роста популяции, то мы ведь все равно не сможем предсказать ее будущее?”
Думаю, что да. Т.к. для отдельной особи зависимость от начальных условий может оказаться еще более резкой.
”Полагаю, что даже в рамках строго-детерменированной схемы можно найти ряд лазеек для случайностей, помимо того и сама эта детерминированность почти всегда под вопросом”
Тут я позволю себе еще раз сформулировать вывод, который следует из существования динамического хаоса.
Пусть имеется строго детерминированная система. Пусть нам даже точно известен закон, по которому эта система развивается. Но даже в этом случае мы принципиально не можем предсказать поведение системы на достаточно длинных временах. Эта непредсказуемость вызвана очень резкой (сильной) зависимостью от начальных условий, которые не могут быть определены с абсолютной точностью.
За это ручается математика. Приведенная здесь модель роста популяции является разумеется лишь приближенной моделью, численность реальной популяции несомненно подчиняется более сложным законам. Но, математически получается, что даже в такой, крайне простой схеме (даже не знаю, можно ли придумать проще:)) возникает хаос и детерминированная схема не позволяет делать предсказания. Так что тут даже не лазейка для случайности, а прям целые открытые ворота!
И вы совершенно правы, что и сама детерминированность под вопросом. Точнее даже не сам принцип детерминированности, он то скорее всего и выполняется. А вот абсолютно точное знание законов (например, параметра r в формуле) – точно под вопросом.
Таким образом, динамический хаос в какой-то мере примеряет детерминированность и случайность, точнее показывает, что случайность существует и в рамках детерминированности. И такая случайность отнюдь не сводится к такому нашему незнанию, которое может быть ликвидировано в процессе развития познания.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:antonrai
Date:July 21st, 2011 11:34 am (UTC)
(Link)
"Таким образом, динамический хаос в какой-то мере примеряет детерминированность и случайность, точнее показывает, что случайность существует и в рамках детерминированности. И такая случайность отнюдь не сводится к такому нашему незнанию, которое может быть ликвидировано в процессе развития познания". Насчет "примиряет" я не уверен - хотя сам тезис о случайности в рамках детерминизма мне кажется перспективным:) Надо, наверное, все-таки разделять, что именно мы можем предсказать, а что принципиальным образом ускользает от самой возможности "предсказания". Например, можно предсказать стихийное бедствие (хотя тут тоже есть проблемы, потому что на практике слишком часто они случаются неожиданно, однако, тут все-таки, скорее всего, больше с незнанием проблема), но невозможно просчитать все его последствия; то есть можно предсказать нечто ВООБЩЕ, но нельзя предсказать в частностях, в деталях.
Есть и другие примеры: вроде бы детерминизма нет, а вместе с тем "заранее известно". Например, когда явным фаворитом в соревновании является такой-то спорстмен, и именно он "детерминированно" и выигрывает, хотя результат-то нам заранее не может быть известен. В общем, много всяких нюансов, разбираться и разбираться:)
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:praeinant
Date:December 12th, 2014 09:13 am (UTC)
(Link)
и получило название динамического хаоса

Не пойму почему это не называется «хаосом перемещения объектов». По моему тут все криво пошло из-за отсутствия точного понятия, что такое есть динамика, а в следствии и движения.
И тут есть одна очень странная вещь. Настоящая физика пока не различает «движение объектов» и непосредственно «само движение».
Пока все движение объектов в настоящей науке мерится исключительно статически.
Например. Объект движется со скоростью 100 км/час. Тут объект есть статическое изложение. В скорости тоже все есть статическое (неизменное). Статическое (неизменное) число 100, статический (неизменный) километр и статический (неизменный) час. Образно говоря тут движение есть «убито» и подменено моментными снимками реальности.
Итак тут стоит вопрос, а как назвать реальную динамику на основе «самого движения» (не движения объектов)(и вне движения объектов)?
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:a_gorb
Date:December 12th, 2014 12:53 pm (UTC)
(Link)
”Не пойму почему это не называется «хаосом перемещения объектов».”
В примере вообще рассматривается не механическое движение, а число особей от поколения к поколению. Хотя динамический хаос может быть и при механическом перемещении. Динамический хаос – название не самое удачное, в прочем в науке неудачные названия нередкость.

”Настоящая физика пока не различает «движение объектов» и непосредственно «само движение».”
А что движется, когда имеет место быть «само движение»?

”Например. Объект движется со скоростью 100 км/час.”
Ваш пример совершенно непонятен. Скорость 100 км/час ¬– это средняя скорость? Мгновенная скорость? Проекция вектора скорости? Модуль вектора скорости? В какой системе отсчета указана скорость?
Обычно все это подразумевается из контекста. Однако, в данном случае контекст мне непонятен, поэтому приходится уточнить.

”моментными снимками реальности”
моментный (моментальный?) снимок не содержит скорости.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:praeinant
Date:December 12th, 2014 01:36 pm (UTC)
(Link)
В примере вообще рассматривается не механическое движение, а число особей от поколения к поколению.
Ну, это есть безразлично. То там, то тут есть объекты и следовательно...

А что движется, когда имеет место быть «само движение»?
По сути своей это очень элементарно. В примере.
Поезд из станции А приехал в станцию Б. Тут убираем все материальное и остается только «само движение».
А это на языке «самого движения» звучит так «сначала разрушилось старое состояние, а потом появилось новое состояние».

моментальный снимок не содержит скорости.
Ну, на то (что бы определить «скорость» и т.д.) в физике статики есть сопоставление разнейших снимков в разнейших количествах и в разнейших ситуациях.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:a_gorb
Date:December 12th, 2014 02:27 pm (UTC)
(Link)
”это на языке «самого движения» звучит так «сначала разрушилось старое состояние, а потом появилось новое состояние»”
Первое. На ваш ответ на вопрос «что движется, когда имеет место быть «само движение»?» просится новый вопрос: Состояние чего? Что имеет состояние?
Второе. Мне не нравится это «сначала …, а потом …». Я привык, что тут есть переход старого в новое, и это новое содержится в старом, а старое в новом.

”есть сопоставление разнейших снимков в разнейших количествах и в разнейших ситуациях”
Ну значит и есть старое состояние, а потом новое. Тогда, не возьму в толк, в чем проблема?
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:praeinant
Date:December 12th, 2014 04:22 pm (UTC)
(Link)
Состояние чего?
Состояние объекта.

Что имеет состояние?
Тут по моему для поверхностного знакомства достаточно определения вики https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%B8%D0%B5 .
Хотя там есть и свои нюансы. Ну, и как везде иногда поверхностное может не соответствовать положениям в более глубоком.

Мне не нравится это «сначала …, а потом …»
Ну, это такой язык у «самого движения». Это показывает только направление времени, а точное время – нет. Также в этом языке нету ничего измеряемого единицами СИ.
Конечно, если предложите новую формулировку таким преобразованиям:
-сначала рушится старое состояние, потом появляется новое состояние (а)
и
-сначала появляется новое состояние, а потом рушится старое состояние (б)

буду весьма признателен и внимательно рассмотрю пригодность того по смыслу.

Ну значит и есть старое состояние, а потом новое. Тогда, не возьму в толк, в чем проблема?
Ну, вы тут просто не усекли, что в физике статики обязательно сначала появляется старое, а только потом приходит очередь новому (тут не бывает так что у дочери рождается ее мать). А в физике «самого движения» может быть по любому. Тут может сначала появится новое, а потом исчезнуть старое.
Другая проблема есть в том, что снимок объекта есть линейно не сопоставимо с моментальный состоянием (допустим в физике «самого движения» все состояние есть только моментальные и т.д.)
Ну, а изначальные проблемы остаются те же. Методы статики есть один инструмент, а методы «самого движения» есть другой инструмент. И оба они в неких своих нишах есть незаменимы. Так тут и проблема очевидна: а почему нету практического и теоретического использования второго инструмента?
Опять же по иному это звучало бы так: физика статики есть зациклившиеся в себе, так же как ее создатели и пользователи.

(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:egovoru
Date:February 16th, 2016 12:44 am (UTC)
(Link)
"Мы можем сильно уменьшить уровень нашего незнания, однако, это почти не дает нам никаких преимуществ в предсказании результата."

"Почти не дает" - это не очень понятно. Какова именно зависимость точности нашего предсказания (оцениваемая неким формальным методом) от точности нашего знания начальных условий? Можем ли мы, нацелившись на некую заданную точность предсказания, рассчитать, с какой именно точностью нам надо определить начальные условия, или нет?
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:a_gorb
Date:February 16th, 2016 07:06 pm (UTC)
(Link)
Время, на котором наше предсказание сохраняет силу примерно логарифмически зависит от точности. Мы, конечно, всегда можем рассчитать необходимую точность в определении начальных условий исходя из необходимого времени предсказания. Однако в силу очень медленной (логарифмической) зависимости для небольшого увеличения времени предсказания требуется заметное увеличение точности. Пусть на приведенной мной картинке красная линия является точным решением. Синяя линия имеет ошибку 20%, а черная 1%, но черная кривая не намного позже начинает отклоняться от красной, чем синяя.
Если бы динамического хаоса не было бы, то ошибка в начальных условиях просто бы сохранялась – ошиблись в начальных условиях на 1% и в ответе ошибка будет примерно 1%.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:egovoru
Date:February 17th, 2016 01:25 am (UTC)
(Link)
"Мы, конечно, всегда можем рассчитать необходимую точность в определении начальных условий исходя из необходимого времени предсказания"

Мне кажется, это главное, а нелинейность зависимости не имеет принципиального значения.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:a_gorb
Date:February 18th, 2016 05:38 am (UTC)
(Link)
”а нелинейность зависимости не имеет принципиального значения”
Имеет.
Приведу два примера. Пусть нам надо предсказать, куда полетит астероид. Мы, скажем, имеем ошибку в 10000км через 1 год, и 30000 через 2 года, повышаем точность в 10 раз и ошибка уменьшается до 2000км и 6000км. Это хорошо, это система без хаоса.
Второй пример (не совсем корректный, но всем знакомый). Составляем прогноз погоды (сейчас это расчетные модели) и видим, что он работает на 3 дня. Ну, хорошо, давайте повысим точность измерения начальных данных и сделаем прогноз на 7 дней. И оказывается, что для системы с хаосом точность надо будет повысить в 100 раз, а на 12 дней в 10000 раз. Т.е., что бы сделать хороший прогноз, потребуется, что бы все человечество только этим и занималось:). А на 15 дней уже не хватит и всех ресурсов планеты. Экспонента – очень быстрая функция! Поэтому, как только динамическое детерминированное предсказание перестает работать, приходится переходить к другим способом описания системы (статистическим).
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:egovoru
Date:February 19th, 2016 01:20 pm (UTC)
(Link)
Да, это я понимаю. Но, мне кажется, если мы можем рассчитать, с какой именно точностью мы можем сделать предсказание, никак нельзя считать, что "миром правит случайность" ;)
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:a_gorb
Date:February 21st, 2016 08:32 am (UTC)
(Link)
А я и не говорю применительно к данному случаю, что случайность правит:) Утверждение значительно более мягкое – наличие динамического хаоса не позволяет практически осуществить прогноз детерминированными методами на долгий срок, начиная с какого-то момента приходится применять статистические.
(Reply) (Parent) (Thread)