?

Log in

No account? Create an account

Математика и Диалектика - a_gorb — LiveJournal

Mar. 26th, 2011

12:44 pm - Математика и Диалектика

Previous Entry Share Flag Next Entry

Планировал три заметки, Физика и Философия, Философия и Логика, Логика и Диалектика, но требуется отступление.
(Копии Физика и Философия, Философия и Логика в своем журнале)

Отступление это связано с тем, что вопросы математики в контексте диалектики возникают достаточно часто. Поэтому хотелось бы высказать свое мнение. О математике также писал здесь: Математика, логика …

Эпиграф
«… подобно всякому математику, я с изумлением убеждался, до чего потрясающе неожиданна и неслыханно многостороння эта деятельность, вначале похожая на игру. Вступая в нее, ты гордо, открыто и безоговорочно обособляешь свою мысль от действительности и с помощью произвольных постулатов, категоричных, словно акт творения, замыкаешься в терминологических границах, призванных изолировать тебя от суетного скопища, в котором приходится жить.
Но именно этот отказ, этот полный разрыв и раскрывает нам сердцевину явлений; побег оборачивается завоеванием, дезертирство - постижением, а разрыв - примирением. Мы с удивлением замечаем, что бегство было мнимым и мы вернулись к тому, от чего убегали. Враг, сбросив старую кожу, предстает перед нами союзником, мы удостаиваемся очищения, мир молчаливо дает нам понять, что преодолеть его можно лишь с его помощью. Так усмиряется страх, оборачиваясь восхищением, - в этом необыкновенном убежище, из глубин которого открывается выход в единое пространство мироздания.»

[Станислав Лем. Глас Господа]

«Давида Гильберта как-то спросили об одном из его бывших учеников.
- Ах, этот-то? - вспомнил Гильберт. - Он стал поэтом, для математики у него было слишком мало воображения.» [Анекдот]


Понимание термина Диалектика не менее разнообразно, чем понимание термина Логика. Здесь я буду Диалектику понимать достаточно широко, т.е. как такое учение, логику, образ (способ) мышления, которые не боятся, а даже стремятся работать с противоположными, противоречивыми мыслями, высказываниями, положениями, тенденциями. Более того, диалектика возникает не просто из признания наличия противоположностей и противоречий, а тогда, когда доводит рассмотрение противоположностей до перехода их друг в друга, до тождества.

Математика же является языком (наукой), содержание которой строится на основе математической, т.е. формальной логики (ФЛ), в которой, как известно два противоречивых положения не могут быть одновременно истинными. И вообще, я лично не встречал математических работ, использующих диалектические построения в духе Гегеля, Лосева или Ильенкова. Тем не менее, не так уж редко возникает вопрос о диалектике в математике.

На мой взгляд, диалектика в математике есть. Возьмем, к примеру, типичное математическое тождество:
sin(a+b) = sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b).
В нем друг против друга (справа и слева от знака равенства) положены два совершенно разных выражения, которые одновременно являются тождественными:)
Разумеется, такая примитивная диалектика является для математики практически бесполезной и непродуктивной. Однако, математика вообще, а не только в этом примере ну просто стремиться к объединению того, что выглядит на первый (и даже второй и третий) взгляд совершенно разным. Например, аналитическая геометрия устанавливает тождество между геометрическими объектами и алгебраическими уравнениями. (Если кто-то считает это тождество самоочевидным или будет утверждать, что квадратичная функция и сечение конуса плоскостью не являются вещами разными, может дальше не читать.) Математика есть постоянное стремление к синтезу. А синтез – это собственно и есть диалектика.

В тоже время, все математические построения осуществляются по правилам ФЛ и ничего кроме ФЛ для их выражения не нужно. Поэтому в самой по себе математике диалектики нет и она для нее видимо бесполезна.

Однако, вокруг математики при ее развитии и создании, при изучении, при применении диалектики полным полно. Причем она проявляется не только в высших областях, но и в самых элементарных. Что даже с простым счетом не все так просто, неплохо понимал и Буратино. Два плюс два будет четыре. А так ли это? Возьмите две капли воды и еще две капли, сколько капель получиться? Складывать можно однородные предметы, а километры с килограммами – нелепо. А вот умножение считается краткой записью сложения, однако умножать можно только числа, обозначающие разнородные количества. Все ли об этом помнят? Все это кому-то может казаться элементарным, но это отнюдь не так просто и очевидно для людей еще слабо знакомых с математикой.

Да и самим арифметическим тождеством 2+2=4 не все так просто. Попробуйте его доказать! А еще, скажите, когда были сформулированы аксиомы, на которые можно опираться при таком доказательстве.

Перейдем к вычитанию. Вычитание в тоже время есть сложение, но с отрицательными числами. Вообще само по себе понятие отрицательного числа не так просто, что это такое отрицательное количество само по себе? А есть еще мнимые числа, которые вроде бы и числа, но какие-то они не совсем числа.

А еще есть число, а есть величина. Иногда мы настолько привыкли их считать чем-то тождественным, что почти и не делаем между ними разницы. А вот древние греки отчетливо эту разницу знали и понимали и, например, тождество (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 (^ - означает «в степени») доказывали отдельно для чисел и отдельно для величин.

Математика строится на дедуктивном ФЛ доказательстве (выводе). Однако такого типа доказательство обычно трудно понять, не имея его некой образной, интуитивной идеи. Часто интуитивный подход оказывается более продуктивным, чем чисто ФЛ. Пример – исчисление бесконечно малых, т.е. анализ. От четкости и ФЛ строгости Архимеда это исчисление перешло к полуинтуитивным понятиям бесконечно малой, а затем вновь вернулось в лоно ФЛ через понятие предела.

Чего больше, натуральных чисел или точек на прямой? А как вообще сравнивать бесконечные количества? А чего больше, точек на прямой или точек на плоскости? (Ответ на последний вопрос настолько удивил первооткрывателя, что он сказал: «Я это вижу, но не верю в это».) А можно ли вообще считать, что прямая состоит из точек?

О взаимодействии математики и окружающего мира вполне диалектично сказано в приведенной цитате Лема.

В общем, хотите примеры диалектического движения мысли – читайте историю математики, их там на всех хватит. Но свои результаты математика выражает на языке ФЛ и диалектика тут является лишней, в чем каждый может убедиться, посмотрев учебники математики.

Собственно математика и есть не что иное, как абстрактные системы, представляющие собой ФЛ вывод следствий из аксиом. Причем речь уже давно не идет исключительно о числах, величинах и геометрических фигурах. Если убрать ФЛ дедукцию, то исчезнет сама математика. В том, что следствия «жестко» связаны с аксиомами по более-менее фиксированным правилам, и состоит сила математики и смысл ее существования.

Рассмотрим, например, специальную теорию относительности (СТО). Если взять преобразования Лоренца, то их математические свойства таковы, что если законы физики инвариантны относительно этих преобразований, то их совместное использование не приведет к логическим противоречиям. Порукой тому математика. Поэтому невозможно отказаться от СТО, не отказавшись от законов электродинамики Максвелла, механики Эйнштейна и квантовой электродинамики. Это чисто математическое (а значит и ФЛ) следствие. Другой вопрос, насколько все это соответствует природе. Но это уже вопрос экспериментальной физики, т.е. за пределами обсуждаемой темы.

Вот как-то так:)

Comments:

[User Picture]
From:a_gorb
Date:April 6th, 2011 04:09 pm (UTC)

Re: Противоречия

(Link)
”Вам не кажется, что наличие противоречий не всегда говорит об ошибке, а подразумевает некую устойчивую тенденцию?”
Да, так тоже бывает.
”Но мы можем точно сказать, что наличие этих противоречий может свидетельствовать в разное время либо об ошибке, либо о скрытом для нас законе или тенденции, либо вообще о неокончательном пределе нашего познания.”
Согласен.

”ФЛ, даже использующая свой символический язык, имеет множество противоречий”
А можно примеры из этого множества?
”Например, мы никогда не могли бы предположить существование функции, значения которой принимали минимум и максимум одновременно. ”
Да легко: f(x)=1
”хотя неясности продолжают существовать (самая простоя из них - квадратный корень из -1)”
И что же тут неясного? Вернее не так, поскольку «неясное» весьма неясный термин:) Что же тут логически противоречивого?
”О физике же трудно судить - я очень мало о ней знаю. Скорее всего она использует математические методы с допущениями, не исключающими некоторых противоречий.”
Физика в этой связи – это действительно отдельный вопрос.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:0neofthese
Date:December 28th, 2012 08:47 am (UTC)
(Link)
> положены два совершенно разных выражения, которые одновременно являются тождественными
И таково вообще любое высказывание в любом языке: субъект есть предикат, нечто есть иное. Просто это никем не воспринимается как противоречие, только философы чувствуют подвох :)
(Reply) (Thread)
From:Гусейн Гурбанов
Date:November 30th, 2018 02:55 pm (UTC)
(Link)
Доработанная окончательная версия «Решения парадоксов»
ВЕТВЬ /противоречивых суждений/ развёртывается при не фиксировании момента смыслового изменения ВЕДОМОГО /понятия в рассматриваемом вопросе/ полагающегося при переходе из МАКСИМАЛЬНО ВОЗМОЖНОГО (МксВ-ого) к МИНИМАЛЬНО ВОЗМОЖНОМУ (МнмВ-ому) УРОВНЮ ЗАВИСИМОСТИ (УЗ-и) от смысла ВЕДУЩЕГО понятия полагающегося на переднем плане для рассмотрения - Вдщ1 - и, соответственно, из МнмВ-ого к МксВ-ому УЗ-и от смысла ВЕДУЩЕГО понятия оставшегося за кадром или же перешедшего на задний план – Вдщ2 /антонима Вдщ1/.


Смысл ВЕДОМОГО:
«Критянин» перешедшего из МксВ-ого УЗ-и от смысла Вдщ1 «лжецы» к
МксВ-ому УЗ-и от смысла Вдщ2 «не лжецы» стал антонимом прежнему;
«Я» … «ложь» к … «правда» …;


Есть также ВЕТВЬ мнимая, развёртывание которой не связана с «не фиксированием момента …», ибо смыслового изменения полагающего развёртывание ВЕТВИ здесь нет.

Смысл ВЕДОМОГО:
«Ахиллес» не перешедшего из МксВ-ого УЗ-и от смысла Вдщ1 «путь
пройденный черепахой» к МксВ-ому УЗ-и от смысла Вдщ2 «пути не
пройденной черепахой» не допускает обгона;
«Стрела» … «движущаяся» … «покоящаяся»
преподносится как смысл перешедшего к антониму;
«Мнение Платона о ложности последующего мнения Сократа» …
«ПОДТВЕРЖДЕНИЯ /Сократом этого мнения Платона/» … «не
ПОДТВЕРЖДЕНИЯ» ...;
«Времени затраченного» … «преодоления полпути» … «преодоление всего пути»
не допускает достижения конца намеченного пути;
«Буриданов осёл» … «НЕУМЕНИЕ /делать выбор между двумя одинаковыми
стогами сена/» … «УМЕНИЕ» обречёт животное на смерть от голода;
«Сюрпризная дата казни» … «определения надсмотрщика» … «оптимистического
размышления приговорённого» не отменяет его казни в следующей
неделе;
«Брадобрей» … «бреющих себя» … «не бреющих себя» не допускает небритого
вида для брадобрея.



«Куча», «Лысый», «Корабль Тесея», «Яйцо или курица» не полагают развёртываний в отношение к себе даже мнимых ВЕТВЕЙ.
(Reply) (Thread)