?

Log in

No account? Create an account

Математика, логика … - a_gorb — LiveJournal

Oct. 16th, 2010

05:29 pm - Математика, логика …

Previous Entry Share Flag Next Entry

Тут некоторые мои дилетантские соображения о математике и логике и их роли в познании. Дилетантские - потому, что я специально не изучал литературу по этому поводу. Поэтому, в тексте почти нет ссылок, даже если какие-то мысли я заимствовал. А во-вторых, я совершенно не уверен, что излагаемые тут соображения являются новыми и никем ранее не высказываемыми.

Эта заметка частично навеяна музыкой вот этим обсуждением и этой дискуссией, а также приведенной здесь цитатой.



Математика с успехом используется как инструмент познания уже давным-давно, и добилась на этом пути впечатляющих результатов. Без математики просто невозможно дать описание многим закономерностям действительности. Предсказательная сила математики также впечатляет.

Математика возникла и долгое время развивалась из потребности решения практических задач в торговле, земледелии, управлении государством, строительстве, конструировании, связанных с числами, величинами, формами. (Примечание. Часто величину и число считают одним и тем же, что не верно. Величина может быть выражена числом, а может быть, и не выражена. Но от этого она величиной быть не перестает.) Как обобщенные абстракции объектов и их свойств, встречающихся на практике, возникли основные аксиомы и понятия математики.

Однако, математика уже с самого начала развития начала вырабатывать свои формулы, теоремы, понятия не только для практических нужд, но и для так сказать собственного интереса. Математика оказалась способной выводить новые формулы (и т.п.), которые не имели сразу практического применения. В этом проявилась еще одна сила математики: она создавала формулы впрок, и для практического применения образовывался «запас» готовых формул, которыми можно было при нужде воспользоваться для описания природы. (По этому сценарию происходит и обучение математике. Сначала считают и делают операции с предметами, потом переходят к числам и оперируют с ними. Решают задачи по типу: в одной корзине было 5 яблок, а в другой – 6. Сколько яблок в обеих корзинах? А потом переходят к более абстрактным задачам: 5+6=? В дальнейшем просто изучают формулы, вообще почти не обсуждая, где они могут пригодиться. Яркий пример – формулы тригонометрии. Если заранее иметь знание этих формул, то их можно с успехом использовать в различных областях. Но их использование уже не есть задача математики, а изучается на других уроках, например, физики и астрономии.)

И тут возникает очень необычная ситуация. Формулы математики, полученные чисто умозрительно, путем рассуждений, каким-то почти «мистическим» образом оказываются работающими в действительности. Получается как бы, что природа подчиняется этим формулам. Если у меня в кармане два яблока, а ко мне подошли три «некто», то кому-то целого яблока не достанется. И это можно определить с помощью математики, не раздавая яблоки. Потом можно их раздать и обнаружить, что математическое предсказание сбывается. Мы (особенно те, кто этим занимается на практике) уже совершенно привыкли к сбываемости математических предсказаний и часто не сильно задумываемся по этому поводу.

Но по мере развития математики ситуация начала меняться. В математике стали возникать понятия и формулы, которым совсем не находилось применение. И более того математика сознательно начала конструировать такие понятия, основания которых совсем не возникали из действительности. На мой взгляд, начало этому положил Лобачевский, предложив геометрию, которая описывала, прямо скажем, объекты с весьма странными свойствами. Постепенно сложилось понимание, что предметом математике является вывод формул, теорем из неких достаточно произвольных допущений (аксиом). Вопрос же об истинности, т.е. соответствия этих допущений и их следствий природе и практической реализуемости аксиом, не должен заботить математику. «Чистая математика – это такой предмет, где мы не знаем, о чем говорим, и не знаем, истинно ли то, что мы говорим» [Бертран Рассел] Эти системы аксиом часто совершенно не имеют той интуитивной интерпретации, которую имели аксиомы геометрии Эвклида.

Потом было понято, что даже для тех разделов математики, которым много лет и которые вышли из практики, система аксиом и понятий является таким же набором произвольных допущений. Аксиомы любого раздела математики говорят отнюдь не о свойствах пространства, отрезков, углов, чисел, фигур, множеств. Как сказал Гильберт: «Следует добиться того, чтобы с равным успехом можно было говорить вместо точек, прямых и плоскостей о столах, стульях и пивных кружках». Математика, таким образом, является еще более абстрактной наукой, чем иногда полагают. Ее утверждения должны толковаться как утверждения о чем угодно, а не как утверждения о реальных свойствах предметов.

Несмотря на это математика продолжает с огромным успехом использоваться на практике и позволяет делать весьма точные предсказания. Единственное что нужно, это убедится в том, что для реальных объектов выполняются определенные аксиомы. Названия же этих объектов, разумеется, совершенно необязательно должны совпадать с терминами, в которых сформулированы аксиомы. После этого к объектам можно применять любые математические выводы из этих аксиом. Несовпадение выводов с действительностью будет означать, что аксиомы выбраны неправильно. Это наделяет современную математику огромной познавательной силой. Она способна рождать теоремы и формулы, описывающие не только те предметы с их свойствами, которые уже известны из практики, но и те, которые будут известны в будущем и наверное те, которые совсем не существуют. Таким образом, математика всегда готова предоставить другим наукам свои методы, какими бы необычными небыли предметы этих наук. По существу, она дает другим наукам универсальный язык, пригодный для описания чего угодно.

Но если аксиомы математики являются в каком-то смысле построениями чистого разума, плодом фантазии («Он стал поэтом, для математики у него было недостаточно воображения»), то чем же тогда математика отличается от произвольного разглагольствования и «игры» со знаками? В математике формулы и теоремы выводятся из аксиом и других формул и теорем не произвольно, а по более-менее четко очерченным правилам. Эти правила вывода для целей данной заметки будем называть логикой.

Эти правила обладают огромной необходимостью. Обратимся к упомянутой в начале цитате. «Рассуждение — это всегда принуждение. Размышляя, мы постоянно ощущаем давление и несвободу. От нашей воли зависит, на чем остановить свою мысль. В любое время мы можем прервать начатое размышление и перейти к другой теме. Но если мы решили провести его до конца, то сразу же попадем в сети необходимости, стоящей выше нашей воли и наших желаний. Согласившись с одними утверждениями, мы вынуждены принять и те, что из них вытекают, независимо от того, нравятся они нам или нет, способствуют нашим целям или, напротив, препятствуют им. Допустив одно, мы автоматически лишаем себя возможности утверждать другое, несовместимое с допущенным.» [А.А.Ивин]

Тут возникает еще один важный вопрос. Если формулы с необходимостью следуют одна из другой, то возникает ли при этом новое знание? Например, формула (a+b)*(a-b)=a^2+b^2 («^2» - означает «в степени 2», т.е. «в квадрате»). Эта формула дает новое знание? Вроде бы нет, т.к. и справа и слева содержится просто одно и тоже, но записанное по-разному. А формула (a^2+b^2)/(a+b)=(a-b) выглядит уже не так очевидно и, впервые получив ее, можно считать, что узнали нечто новое. Таким образом, автоматическое, необходимое следствие теорем из аксиом ставит вопрос о том, возникает ли тут новое знание, если все сводится действию по необходимости «стоящей выше нашей воли и наших желаний». На этот вопрос у меня нет ответа.

Теперь мы получаем следующее. Есть аксиомы, есть «жесткие» правила вывода, в результате получаем теоремы, а из них по тем же правилам – новые теоремы. Если свойства реального объекта описываются аксиомами, то правильно полученные теоремы также будут описывать его свойства! («Допустив одно, мы автоматически лишаем себя возможности утверждать другое, несовместимое с допущенным.») (Примечание. Например, если скорость изменения величины пропорциональна самой величине, то изменение этой величины описывается экспонентой. И никак иначе.) Причем, выбор аксиом достаточно произволен, а вот правила вывода обладают гораздо большей общностью и обязательностью и остаются почти одними и теми же (уж со времен Аристотеля:-)).

Но откуда взялись эти правила? Часто пишут: «Трудно найти более многогранное и сложное явление, чем человеческое мышление. Оно изучается многими науками, и логика – одна из них. Её предмет – логические законы и логические операции мышления. Принципы, устанавливаемые логикой, необходимы, как и все научные законы. Мы можем не осознавать их, но вынуждены следовать им.
Формальная логика – наука о законах и операциях правильного мышления.
Основной задачей логики является отделение правильных способов рассуждения (выводов, умозаключений) от неправильных.» [А.А.Ивин. Логика]

Но если правила логики, правила вывода являются законами мышления, то возникает следующий вопрос. Если у нас аксиомы плод нашего воображения, а теоремы получены в результате правил нашего мышления, то с какого перепоя перепуга природа должна следовать теоремам, т.е. плоду нашего воображения мышления? Тогда как на практике применения математики мы видим, что природа следует-таки этому. Спрашивается, почему?

Ответ может быть два. Природа, как и наше мышление, есть проявление некоторой духовной сущности, которая задала и тому и другому эти законы логики. Или, наше мышление для адекватного описания природы вынуждено учитывать и воспроизводить закономерности присущие природе. Тогда правила вывода, законы логики становятся не столько законами мышления, сколько общими законами природы, которые мышление человека с необходимостью должно учитывать и использовать, что бы получать верное описание природы. Но сами эти законы выступают именно как законы правильного мышления, а не непосредственные законы природы, типа законов Ньютона. Мне ближе вторая точка зрения. Отсюда и становится понятным тот известный тезис, что законы логики являются наиболее общими законами природы и мышления, а ничего-то другого и не в коем случае не их по отдельности.

Но отсюда следует и следующее. Как возможны различные системы аксиом, так возможны и различные логики. Недавно обнаружил работу А.И. Ахиезер, Р.В. Половин, Почему невозможно ввести в квантовую механику скрытые параметры. УФН. 1972. Т.107. В.3. С.463, в которой указано, что логикак квантовой механики (КМ) отлична от логики классической механики (это не результат этой работы, просто в ней об этом написано). Так, в логике КМ не выполняется дистрибутивный закон: (A+B)*C не равно A*C+B*C. В последние десятилетия развивается интерес ко всякого рода нетрадиционным логикам. Вопрос в том, какие из них позволяют наиболее адекватно мыслить.